第2章 平面向量及其应用 测评卷-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

第二章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知点A(1,3),B(4,-1),则||= (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　因为A(1,3),B(4,-1),所以=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),||==5。故选A。 答案　A 2.已知向量a=,sin α,b=sin α,,若a∥b,则锐角α为 (　　) A.30° B.60° C.45° D.75° 解析　因为a∥b,所以sin2α=×=,所以sin α=±。又因为α为锐角,所以α=30°。故选A。 答案　A 3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于 (　　) A. B. C.- D.- 解析　在△ABC中,已知D是AB边上一点,因为=2,=+λ,所以=+=+=+(CA)=CA+CB,故选A。 答案　A 4.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC是 (　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析　因为sin A=sin C,且A,C是三角形内角,所以A=C或A+C=π(舍去)。所以△ABC是等腰三角形。故选B。 答案　B 5.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则cos B= (　　) A.± B. C.- D. 解析　因为=,所以=,解得sin B=。因为b>a,所以B>A,故B有两解,所以cos B=±。故选A。 答案　A 6.如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距15 n mile的C处。现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为(　　) A. h B.1 h C. h D.2 h 解析　在△OBC中,由余弦定理,得CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos 120°=152+252+15×25=352,因此CB=35 n mile,由=1(h),因此甲船到达B处需要的时间为1 h。故选B。 答案　B 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A=,a=,则= (　　) A.2 B. C. D. 解析　由cos A=,得sin A=,由正弦定理,可知====2,所以=2。故选A。 答案　A 8.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4。若点M,N满足=3,=2,则·= (　　) A.20 B.15 C.9 D.6 解析　 如图所示,由题设知,=+=+,=-,所以·=+·-=||2-||2+·-·=×36-×16=9。故选C。 答案　C 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.下列命题中,不正确的是 (　　) A.若e为单位向量,且a∥e,则a=|a|e B.若a∥b且b∥c,则a∥c C.a·a·a=|a|3 D.若平面内有四点A,B,C,D,则必有+=+ 解析　若e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e,所以A错误;若b=0,则a∥b且b∥c,但a∥c不一定成立,所以B错误;因为a·a·a=|a|2,所以错误;因为+=++=+(+)=BC+AD,所以D正确。故选ABC。 答案　ABC 10.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且=2,点F是BD上靠近点D的四等分点,则 (　　) A.=- B.=+ C.=- D.=+ 解析　因为=2,点F是BD上靠近点D的四等分点,所以=,=,所以=+=+=AC-BD。因ABADACADABBD,所FE=ABAD)+(+)=AB-AD。故选AC。 答案　AC 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,则下面结论正确的是 (　　) A.C= B.a2+b2-c2=ab C.a2+b2-c2=2ab D.C= 解析　因为p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,所以a2+b2-c2=ab,所以=,由余弦定理知,cos C=,又因为0<C<π,所以C=。故选AB。 答案　AB 12.定义两个平面向量的一种新运算:a􀱋b=|a||b|·sin <a,b>,其中<a,b>表示a,b的夹角。则对于两个非零向量a,b,下列结论一定成立的是 (　　) A.a􀱋b=b􀱋a B.(a􀱋b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 C.λ(a􀱋b)=(λa)􀱋b D.若a􀱋b=0,则a与b平行 解析　A显然成立;B中,(a􀱋b)2+(a·b)2=|a|2|b|2sin2<a,b>+|a|2|b