课时达标检测(16) 从速度的倍数到向量的数乘-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

课时达标检测(十六)　从速度的倍数到向量的数乘 基础达标 　 一、单项选择题 1.3(2a-4b)= (　　) A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 解析　利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b。故选D。 答案　D 2.设M为▱ABCD对角线的交点,O为▱ABCD所在平面内任意一点,则+++= (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析　 因为O为任意一点,所以不妨把A点看成O点,则+++=0+++,因为M是▱ABCD对角线的交点,所以0+++=2=4。故选D。 答案　D 3.设P,Q两点把线段AB三等分(P靠近A),则下列向量表达式中错误的是 (　　) A.= B.= C.=- D.= 解析　由向量数乘的定义可以得到A,B,C中的表达式都是正确的,只有D错误。 答案　D 4.在△ABC中,G为△ABC的重心,记a=,b=,则= (　　) A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b 解析　因为G为△ABC的重心,所以=(+)=a+b,所以=+=-b+a+b=a-b。故选A。 答案　A 5.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量= (　　) A.a+b B.-a-b C.-a+b D.a-b 解析　 如图,因为点E为CD的中点,CD∥AB,所以==2,所以==(+)=b-a=-a+b。故选C。 答案　C 6.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析　因为++=,所以+++=0,即-2=,所以与共线。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.已知实数m,n和向量a,b,下列说法正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=n 解析　易知A和B正确;C中,当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C不正确;D中,由ma=na,得(m-n)a=0,因为a≠0,所以m=n,故D正确。 答案　ABD 8.已知向量a,b不共线,若=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 (　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点不共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点不共线 解析　易知A,B,C三点不共线,B,C,D三点不共线,由=a+5b,=+=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,知=,所以A,B,D三点共线。又=+=-a+13b,=3(a-b),所以不存在实数λ,使=λ,所以A,C,D三点不共线。 答案　ABD 三、填空题 9.如果实数p和非零向量a与b满足pa+(p+1)b=0,则向量a和b　　　　(填“共线”或“不共线”)。  解析　由题知实数p≠0,则pa+(p+1)b=0可化为a=-b,由向量共线定理可知a,b共线。 答案　共线 10.已知在△ABC中,点M满足++=0,若存在实数m使得+=成立,则m=　　　　。  解析　因为++=0,所以点M是△ABC的重心。所以+=3,所以m=3。 答案　3 11.已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若=3+,则x=　　　　。  解析　因为点P在直线AB上,所以=λ,λ∈R,-=λ(-),即=λ+(1-λ),所以所以x=-2。 答案　-2 四、解答题 12.计算: (1)6(3a-2b)+9(-2a+b); (2)(3a+2b)-a-b-a+b+a; (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)。 解　(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b。 (2)原式=3a-a+2b-b-a+a+b=a+b-a+b=a+b-a-b=0。 (3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b。 13.在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和。 解　 如图,设=a,=b。因为M,N分别是DC,BC的中点,所以=b,=a。因为在△ADM和△ABN中,即令①×2-②,得b=(2c-d),令②×2-①,得a=(2d-c),所以=d-c,=c-d。 素养升级 14.在△ABC中,若点P满足=+,=+,则△APQ与△ABC的面积之比为 (　　) A.1∶3 B.5∶12 C.3∶4 D.9∶16 解析　因为=+,所以(-)=(-),即=2,得点P为线段BC上靠近点C的三等分点。又=+,所以(-)=(-),即3=,得点Q为线段BC上靠近点B的四等分点,所以PQ=BC,所以△APQ与△ABC的面积之比为S△APQ∶S△ABC=PQ∶BC=5∶12。故选B。 答案　B 15. 如