2.6.2 第1课时 向量在几何证明中的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 第1课时　向量在几何证明中的应用 　　向量理论的发展有着深刻的几何背景。这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念。莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值,不能直接表达位置、角度和运动,利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的。鉴于此,他提出了一个“新代数”,其中几何实体可以用符号来表示,并且这些符号可以直接进行运算,它不需要大量的乘法,不需要添加令人困惑的太多点和线。这就是向量。 会用向量方法计算或证明几何中的相关问题,体会向量在解决数学和实际问题中的应用。 1.用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点 共线等问题 共线向量 定理 a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,λ∈R 垂直问题 数量积的 运算性质 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量 夹角问题 数量积的 定义 cos θ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的 定义 |a|==,其中a=(x,y),a为非零向量 2.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 微提醒 平面向量及三角形的“四心”: 设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||。(2)O为△ABC的重心⇔++=0。(3)O为△ABC的垂心(三角形三边高的交点)⇔·=·=·。(4)O为△ABC的内心⇔++=0。 　 类型一　平面几何中的垂直问题 　　【例1】　如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE。 证明　设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0。又=+=-a+,=+=b+,所以·=b+·-a+=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0。故⊥,即AF⊥DE。 　　利用向量解决垂直问题的方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积为0。 利用向量解决垂直问题的途径:可以考虑利用基表示向量,也可以考虑坐标的形式 【变式训练】　 如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且四边形PFCE为矩形。求证:PA=EF且PA⊥EF。 证明　 以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示),设正方形边长为1,||=λ,则A(0,1),P,,E1,λ,Fλ,0,于是=-λ,1-λ,=λ-1,-λ。因为||==,同理||=,所以||=||,所以PA=EF。因为·=-λ·-1+1-λ-λ=0,所以⊥。所以PA⊥EF。 类型二　平面几何中的平行(或共线)问题 　　【例2】　 如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==。求证:点E,O,F在同一直线上。 证明　设=m,=n,由==,知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以=+=+=-m+(m+n)=m+nOEOCCE=+=(m+n)-m=m+n。所FOOE。又OFOOE的公共点,故点E,O,F在同一直线上。 　　用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法:方法一:①选择一组向量作基;②用基表示和;③寻找实数λ,使=λ,即∥;④给出几何结论AB∥CD。方法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2)。利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y1=0得到∥,再给出几何结论AB∥CD。以上两种方法,都是建立在A,B,C,D中任意三点都不共线的基础上,才有∥得到AB∥CD 【变式训练】　在△ABC中,点M,N分别在线段AB,AC上,AM=2MB,AN=2NC。求证:MN∥BC。 证明　设=a,=b,则=-=b-a。又AM=2MB,AN=2NC。所以=a,=b。在△AMN中,=-=(b-a),所以=,即与共线,故MN∥BC。 类型三　长度与夹角问题 　　【例3】　已知等腰△ABC中,BB',CC'是两腰上的中线,且BB'⊥CC',求∠BAC的余弦值。 解　 以底边BC所在直线为x轴,边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,设A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(-c,-a),=(2c,0),=(c,-a)。因为BB',CC'分别为AC,AB边上的中线,所以BB=(+)=,CC=(+)=。又BB⊥CC,所以c·+·=0,即a2=9c2。所以cos∠BAC===