第33期 向量的基本关系、线性运算-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９．（１２ 分 ） （２０２２ 安 徽 阜 阳 高 一 月 考 ） 一 艘 海 上 巡 逻 艇 从 港 口 向 北 航 行 了 ３０ ｎ ｍ ｉｌｅ，这 时 接 到 求 救 信 号 ，在 巡 逻 艇 的 正 东 方 向 ４０ ｎ ｍ ｉｌｅ 处 有 一 艘 渔 船 抛 锚 需 救 助 ．试 求 ： （１ ） 巡 逻 艇 从 港 口 出 发 到 渔 船 出 事 点 所 航 行 的 路 程 ； （ ２ ） 巡 逻 艇 从 港 口 出 发 到 出 事 地 点 之 间 的 位 移 ( ． 参 考 数 据 ：ｓｉｎ ４５° ＝ 槡 ２２ ，ｓｉｎ ５３° ≈ ) ４５ ２０． （１２ 分 ） 如 图 ５ ，已 知  ＡＢＣＤ 的 边 ＢＣ ，ＣＤ 的 中 点 分 别 是 Ｋ ，Ｌ ，且 →ＡＫ ＝ ｅ １ ， →ＡＬ ＝ ｅ ２ ，试 用 ｅ １ ，ｅ ２ 表 示 →ＢＣ ， →ＣＤ ． ２１． （１２ 分 ） 已 知 △ ＡＢＣ 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，∠ ＡＣＢ ＝ ９０°，Ｍ 是 斜 边 ＡＢ 的 中 点 ， →ＣＭ ＝ ａ ， →ＣＡ ＝ ｂ ，证 明 ： （１ ） ｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ｜； （２ ） ｜ ａ ＋ （ａ － ｂ ） ｜ ＝ ｜ ｂ ｜． ２２． （１２ 分 ） 平 面 内 有 一 个 △ ＡＢＣ 和 一 点 Ｏ ，线 段 Ｏ Ａ ，Ｏ Ｂ ，Ｏ Ｃ 的 中 点 分 别 为 Ｅ ，Ｆ ，Ｇ ，ＢＣ ，ＣＡ ，ＡＢ 的 中 点 分 别 为 Ｌ ，Ｍ ，Ｎ ，设 →ＯＡ ＝ ａ ， →ＯＢ ＝ ｂ ， →ＯＣ ＝ ｃ． （１ ） 试 用 ａ ，ｂ ，ｃ 表 示 向 量 →ＥＬ ， →ＦＭ ， →ＧＮ ； （２ ） 求 证 ：线 段 ＥＬ ，ＦＭ ，ＧＮ 交 于 一 点 且 互 相 平 分 ．! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( ! ! ! " # ! ! $ % & ! " 书 一、从位移、速度、力到向量 １．向量的概念与表示 （１）定义：既有① ，又有② 的量 叫做向量；只有大小，没有方向的量叫做数量． （２）有向线段：具有 ③ 和 ④ 的线 段称为有向线段，以Ａ为 ⑤ ，Ｂ为终点的有向线 段，记作 →ＡＢ．线段ＡＢ的长度称为有向线段→ＡＢ的长度，记 作｜→ＡＢ｜． （３）向量的表示方法：向量可以用有向线段表示， 其中有向线段的长度表示向量的 ⑥ ，箭头所指 的方向表示向量的 ⑦ ．向量也可以用黑斜体小 写字母如ａ，ｂ，ｃ，．．．或→ａ，→ｂ，→ｃ，．．．（书写）来表示． （４）向量的模：向量ａ的⑧ ，记作｜ａ｜，又称 作向量的模． （５）长度为⑨ 的向量称为零向量，记作０或→０， 任何方向都可以作为零向量的方向．模等于 ⑩ 的向量称为单位向量． ２．向量的基本关系 （１）相等向量 相等 向 量 是 指 它 们 的 瑏瑡 且 瑏瑢 ，向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ． 若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示 的向量是相等的．代表相等向量的有向线段与起点位置 瑏瑣 ． （２）共线向量 若两个非零向量ａ，ｂ的方向瑏瑤 ，则称这 两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线 或平行，记作瑏瑥 ． 两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向 线段所在的直线重合或平行． 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为 瑏瑦 ．相反向量是共线向量． 若其中一个向量为ａ，则它的相反向量记为 －ａ． 规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量ａ， 都有瑏瑧 ．零向量的相反向量仍是瑏瑨 ． ３．向量的夹角 （１）定义：已知两个非零向 量ａ和ｂ，如图１，在平面内选一 点Ｏ，作→ＯＡ＝ａ，→ＯＢ＝ｂ，则θ＝ 瑏瑩 （０°≤θ≤１８０°）称为 向量ａ与ｂ的夹角． （２）当θ＝０°时，ａ与ｂ瑐瑠 ；当θ＝１８０°时， ａ与 ｂ瑐瑡 ；当 θ＝９０°时，ａ与 ｂ垂直，记作 瑐瑢 ． （３）规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的 向量ａ，都有瑐瑣 ． 二、从位移的合成到向量的加减法 １．向量的加法 （１）定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法． （２）平行四边形法则：已知两个不共线的向量ａ，ｂ． 如图２，在平面内任取一点Ａ，作有向线段→ＡＢ＝ａ，→ＡＤ＝ ｂ，以有向线段→ＡＢ和→ＡＤ为邻边作 ＡＢＣＤ，则有向线段 ① 表示的向量即为向量 ａ与 ｂ的和，记作 ② ．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法 的平行四边形法则． （３）三角形法则：如图３，作有向线段→ＡＢ＝ａ，以有 向线段 →ＡＢ的③ 为起点，