2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 　　 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征。小明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶端的仰角为80°。经计算泉标的高约为38 m。泉标的高是怎样算出来的? 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。 在三角形的三条边和三个角这6个元素中,如果已知3个(至少含一边长),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3个元素。具体情形如下: 情形1:已知两个角的大小和一条边的边长。 先由三角形内角和等于180°求出第三个角的大小,然后依据正弦定理求得另外两条边的边长。 情形2:已知两条边的边长及其夹角的大小。 先由余弦定理求出第三条边的边长,然后再由余弦定理求得第二、第三个角的大小。 情形3:已知三条边的边长。 由余弦定理求出两个角,再利用三角形内角和等于180°求出第三个角。 情形4:已知两条边的边长和其中一边对角的大小。 首先,由正弦定理求出第二条边所对角的正弦,这时,要判断是两解、一解还是无解。然后,根据三角形内角和等于180°得到第三个角的大小。最后,由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长。 微思考 1.在距离的测量问题中,如果构造的三角形知道三个内角能解出三角形的边长吗? 提示:不能。要解一个三角形,至少要知道这个三角形的一条边的长。 2.两个不能到达的点之间能否求出两点之间的距离? 提示:能。利用测角仪和皮尺测量相关的角、边,利用正、余弦定理求出两点间的距离。 　 类型一　距离问题 　　【例1】　(1)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为　　　　千米。  解析　 如图所示,由已知条件知,在△ABC中,AB=2,∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=45°。由正弦定理得=,即=,解得AC=(千米)。 答案　 (2)一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向。若货轮的速度为30 n mile/h,当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时,求A,D两处的距离。参考数据:sin 15°= 解　 如图所示,在△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=90°+30°=120°,所以∠ACB=180°-45°-120°=15°,AB=30×0.5=15(n mile),则由正弦定理,得=,即=,又因为sin 15°=,sin 120°=,所以AC==×15(n mile)。在△ACD中,因为∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD=AC=15(3+)(n mile)。所以A,D两处的距离为15(3+)n mile。 　　(1)基线的选取要恰当。(2)选定或创建的三角形要确定。(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定 【变式训练】　一只船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔东南方向的N处,则这只船航行的速度(单位:海里/时)为(　　) A.32 B.8 C.32 D.8 解析　如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°。在△PMN中,由正弦定理,得=,所以MN=64×=32。又由M到N所用时间为14-10=4(小时),所以船的航行速度v=8(海里/时)。故选B。 答案　B类型二　高度问题 　　【例2】　如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β。已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD。 解　在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β。根据正弦定理,得=,即=,所以AC==。在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β=,即山的高度为。 　　(1)解决实际问题时,通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形,先解可解的三角形,再利用所得结果解其他三角形。(2)测量高度的方法:对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题,由于不能直接通过解直角三角形解决,可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决 【变式训练】　如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB。 解　在△BCD中,因为∠BCD=α,∠BDC=β,所以∠CBD=π-α-β,由正弦定理,得=,所以BC==,在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=。即塔高为。 类型三　角度问题 　　【例3】　 如图所示,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的