2.2.1 向量的加法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 　　有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是F1=3 000 N,F2=2 000 N,牵引绳之间的夹角为θ=60°(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果。物理学中两个力的和体现了向量的什么运算? 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义。 2.了解平面向量的加法运算性质及其几何意义。 1.向量的加法 (1)向量加法的定义。 求两个向量　和　的运算,称为向量的加法。  (2)向量加法的运算法则。 ①平行四边形法则:已知两个不共线的向量a,b,如图,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作▱ABCD,则有向线段表示的向量即为向量a与b的和,记作a+b。这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则。 ② 三角形法则:如图,作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示向量a与b的和。这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则。 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a。 (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 微提醒 (1)使用向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件。而向量加法的平行四边形法则应用的前提是共起点。 (2)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(当且仅当a,b同方向时有|a+b|=|a|+|b|,当且仅当a,b反方向时有||a|-|b||=|a+b|)。 　 类型一　向量加法运算及其几何意义 　　【例1】　(1)如图①所示,求作向量和a+b; (2)如图②所示,求作向量和a+b+c。 ①　② 解　(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b。如图所示。 (2) 如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求。 　　向量求和的注意点:(1)向量加法的三角形法则对于两个向量共线时也适用。(2)两个向量的和仍是一个向量。(3)向量加法的平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 【变式训练】　(1) 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量。 ①+=　　　　;  ②+=　　　　;  ③+=　　　　。  解析　①因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,故+=。②因为=,故+与方向相同,长度为长度的2倍,故+=。③因为=,故+=+=0。 答案　①　②　③0 (2)如图,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c。 解　由已知得a+b=+=,又=c,所以延长AC至点E,使||=||,则a+b+c=。即为所求,如图。 类型二　向量加法的运算律 　　【例2】　(1)下列向量的运算结果为零向量的是 (　　) A.+ B.++ C.+++ D.+++ 解析　+=+=;++=+=;+++=++=;+++=+++=0。故选D。 答案　D (2)化简下列各式: ①+++。 ②(+)+(+)+。 解　①+++=(+)+(+)=+=0。 ②(+)+(+)+=(+)+(+)+=++=+=。 　　向量加法运算律的意义和应用原则:(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当运用向量加法法则运算的目的。实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 　　【变式训练】　 如图所示,在▱ABCD中,++= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析　++=++=+=。故选A。 答案　A 类型三　向量加法的实际应用 　　【例3】　 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h。 (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°)。 解　 (1)如图所示,表示船速,表示江水速度,以AD,AB为邻边作▱ABCD,则表示船实际航行的速度。 (2)在Rt△ABC中,||=6,||=15,于是||===≈16.2。因为tan∠CAB==,所以利用计算工具可得∠CAB≈68°。因此,船实际航行速度的大小约为16.2 km/h,方向与江水速度间的夹角约为68°。 　　用向量知识研究物理问题的基本思路和方法:(1)通过抽象、概括,把物理现