1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 　　 如图所示,以单位圆的圆心O为原点,建立直角坐标系,设点P(xP,yP),你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数和余弦函数的定义吗?改变终边上的点的位置,这两个比值会改变吗? 1.借助单位圆理解任意角的正(余)弦函数定义。 2.能利用定义解决相关问题。 1.利用单位圆定义正弦函数、余弦函数 如图,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的。把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作u=cos α。  2.用角的终边上的点的坐标表示正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α=,cos α=,其中r=。 微提醒 三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和 P(x,y)在终边上的位置无关,与角α的终边位置有关,对于确定的角α,其终边的位置也随之确定。 微思考 如果改变α终边上点P的位置,a,b,r均会改变,那么,这两个比值会改变吗?为什么? 提示: 不会改变。如图,sin α==,sin α==,其中r1=,r2=,又△MOP∽△NOQ,所以=,所以=,因此,这两个比值不会改变。 　 类型一　单位圆法求三角函数值 　　【例1】　利用定义求角的正弦、余弦函数值。 解　 如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在△OPB中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,则P-,。所以sin=,cos=-。 　　利用定义求特殊角α的三角函数值的步骤:(1)在平面直角坐标系中,作单位圆。(2)过角α的终边与单位圆的交点P,作PB⊥x轴于点B。(3)求出|PB|和|OB|的值,从而确定点P的坐标。(4)利用定义写出sin α,cos α 【变式训练】　(1)设角α的终边与单位圆相交于点P,则sin α-cos α的值是(　　) A.-　　　B.-　　　C.　　　D. 解析　角α的终边与单位圆相交于点P,则sin α=-,cos α=,所以sin α-cos α=--=-。故选A。 答案　A (2)求角的正弦、余弦函数值。 解　 在直角坐标系中,作∠AOB=,如图所示。易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为。所以,sin=-,cos=。 类型二　坐标法求三角函数值 　　【例2】　已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值。 解　r==5|a|,①若a>0,则r=5a,角α在第二象限。sin α===,cos α===-,所以2sin α+cos α=-=1。 ②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,sin α==-,cos α==。所以2sin α+cos α=-+=-1。 　　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=。当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便。(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 　　【变式训练】　已知角α的终边经过点P(5m,12),且cos α=-,则m=　　　　。  解析　r==,cos α==-<0,所以解得m=-1。 答案　-1 类型三　三角函数定义的应用 　　【例3】　在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x-4y=0上,求sin α-3cos α的值。 解　①当α的终边在第一象限时,取终边上的点P(4,3),所以点P到原点的距离r=5,所以sin α=,cos α=,所以sin α-3cos α=-=-。 ②当α的终边在第三象限时,取终边上的点P(-4,-3),所以点P到原点的距离r=5,所以sin α=-,cos α=-,所以sin α-3cos α=-+=。 　　角α的终边落在直线上要分两个方向进行讨论 【变式训练】　(1)已知角α的终边在直线2x-y=0上,则sin α=　　　　。  解析　当α终边在第一象限时,在α的终边上取点P(1,2),r==,所以sin α===,当α的终边在第三象限时,在角α的终边上取点P(-1,-2),r==,所以sin α===-。 答案　± (2)已知角α的终边过点P(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是　　　。  解析　由三角函数的定义可知,cos α=≤0,sin α=>0,所以所以-2<a≤3,所以实数a的取值范围是(-2,3]。 答案　(-2,3] 　 1.已知角α终边过点P(1,-1),则sin α的值为 (　　) A.1 B.