1.3 弧度制-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

§3　弧度制 　　 公元6世纪,印度人在制作正弦表时,曾用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年,在他的一部划时代著作《无穷分析引论》中,提出把圆的半径作为弧长的度量单位,使一个周角等于2π弧度,1弧度等于周角的。这一思想将线段与弧的度量统一起来,大大简化了三角公式及计算。 1.了解弧度制的概念。 2.能进行弧度与角度的互化。 1.弧度制 (1)弧度、弧度制的概念。 以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆),用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角。 在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角。其单位用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写)。在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数。这种以弧度作为单位来度量角的方法,称为弧度制。 (2)弧度数。 一般地,弧度与实数一一对应。正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。 在半径为r的圆中,若圆心角A为n°,则它对应的弧长l=·2πr。又此时角A的弧度数α=·2π,因此l=|α|r,即|α|=。 2.弧度与角度的换算 根据弧度的定义,可知1°=rad= rad≈0.017 45 rad;1 rad==≈57°18';1°=60',1'=60″。 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则 度量单位 α为弧度制 扇形的弧长 l=αr 扇形的面积 S=lr=αr2 微提醒 角度制与弧度制是两种不同的度量制度,在表示角时不能混用,例如α=k·360°+(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+(k∈Z)。 微思考 1.在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗? 提示:不相等。这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同。 2.你认为式子|α|=中,比值与所取的圆的半径大小是否有关? 提示:与半径大小无关,一定大小的圆心角α所对应的弧长度与半径的比值是唯一确定的。 　 类型一　角度与弧度的互化 　　【例1】　把下列角度化成弧度或弧度化成角度: (1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)-。 解　(1)72°=72×=。 (2)-300°=-300×=-。 (3)2=2×°=°。 (4)-=-°=-40°。 　　角度与弧度互化技巧:在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到,度数×=弧度数,弧度数×°=度数 【变式训练】　(1)①将112°30'化为弧度为　　　　。  解析　112°30'=°=×=π。 答案　π ②将- rad化为角度为　　　　。  解析　-π=-°=-75°。 答案　-75° (2)已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,试比较α,β,γ,θ的大小。 解　α=15°=15×=,θ=105°=105×=。显然<<1<。故α<β<γ<θ。 类型二　用弧度表示角的集合 　　【例2】　用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在图中阴影部分内的角的集合。 ①　② 解　题图①中,在-360°~0°内,以OB为终边的角为-30°角,化为弧度为-,75°=75×=,设终边落在题图①中阴影部分内的角为θ,则θ2kπ-<θ<2kπ+,k∈Z。 题图②中,在-360°~0°内,以OB为终边的角为-135°角,化为弧度为-,135°=135×=,设题图②中终边落在阴影部分内的角为β,则β2kπ-<β<2kπ+,k∈Z。 　　表示区域角时应注意以下几点:(1)用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角,要注意旋转的方向及两边界角的大小顺序。(2)表达式中角度制与弧度制不能混用。(3)要分清阴影部分是否包括边界,以确定表达式中是否带“等号” 【变式训练】　设α=510°,β=-。 (1)将α用弧度表示出来,并指出它是第几象限角; (2)将β用角度表示出来,并在-360°~360°内找出与它终边相同的所有的角。 解　(1)α=510°=510× rad= rad,又=2π+,所以角α是第二象限角。 (2)β=-=°=-330°,则与角β终边相同的角可表示为θ=k·360°-330°,k∈Z,因为-360°≤θ<360°,所以-360°≤k·360°-330°<360°(k∈Z),即-≤k<(k∈Z),所以k=0或k=1。当k=0时,θ=-330°;当k=1时,θ=30°,所以在-360°~360°内与角β终边相同的角是30°角。 类型三　扇形的弧长公式与面积公式 　　【例3】　(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长