1.1 周期变化-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修(第二册)（北师大版）

第1章 三角函数 §1　周期变化 　　 自然界中存在着丰富的周期变化,利用这些变化的周期性可以帮助人类解决许多问题。例如,利用海水的潮汐发电,可解决能源紧张问题;利用候鸟的迁徙现象,可帮助人类研究生物的演变过程。各种周期变化中,事物变化或者变化发生的重复出现,从数学的角度来研究,实际上是其中某些变量经过一个固定的时间间隔会出现重复变化,这个时间间隔就是周期。 1.了解周期函数的概念。 2.会求周期函数的周期。 　　一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期。 　　如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期。 微提醒 并非所有的周期函数都有最小正周期。如常函数f(x)=C(x∈R),所有非零实数T都是它的周期,但最小正数不存在,所以常函数没有最小正周期。 微思考 所有的函数都是周期函数吗?若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一? 提示:并不是每一个函数都是周期函数;函数具有周期性,则其周期也不一定唯一。 　 类型一　周期变化 　　【例1】　我们的心跳都是有节奏、有规律的,当心脏跳动时,血压升高或降低。下表是某人在一分钟内血压与时间的对应关系表,通过表中数据来研究血压变化的规律。 t/s 5 10 15 20 25 30 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 t/s 35 40 45 50 55 60 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 　　(1)根据上表提供的数据,在平面直角坐标系中作出血压p与时间t的关系的图象; (2)试说明血压变化的规律。 解　(1)血压p与时间t的关系的图象如图。 (2)从图象上可以看出,每经过相同的时间间隔t(15 s),血压就会重复出现相同的数值,因此此人的血压是呈周期性变化的。 　　(1)若某变化经过一个固定的时间间隔会重复出现,则这个固定的时间间隔就是周期。(2)利用周期变化的周期性可以了解该变化在某时间或某位置的变化情况 【变式训练】　若今天是周一,则第(7k+1)(k∈N*)天后的那一天是周几?第100天后的那一天是周几? 解　因为今天是周一,1天后是周二……所以第7k(k∈N*)天后的那一天是周一,所以第(7k+1)(k∈N*)天后的那一天是周二。因为100=14×7+2,所以第100天后的那一天是周三。 类型二　周期函数 　　【例2】　函数f(x)是周期为4的周期函数,且f(x)= (1)画出函数f(x)在区间[-6,6]上的图象,并求出f(x)的最大值和最小值,以及零点的个数; (2)求f的值。 解　(1)作出函数f(x)在区间[-6,6]上的图象,如图。由图象可知,f(x)的最大值为2,最小值为0,零点的个数为4。 (2)f=f=f=-+2=。 以2a(a>0)为周期的周期函数f(x)的四种形式:(1)f(x+a)=f(x-a);(2)f(x+a)=-f(x);(3)f(x+a)=(f(x)≠0);(4)f(x+a)=-(f(x)≠0)。 【变式训练】　(1)已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　由f(x+1)=-f(x)可得,f(x+2)=-f(x+1),因此f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的函数,且f(2)=-f(1)=-1,所以f(10)=f(10-2×4)=f(2)=-1。故选A。 答案　A (2)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知x∈[2,3]时,f(x)=x,则x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为f(x)= (　　) A.x+4 B.2-x C.3-|x+1| D.2-|x+1| 解析　因为f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,且x∈[2,3]时,f(x)=x,所以x∈[-2,-1]时,4+x∈[2,3],此时f(x)=f(4+x)=4+x;x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],此时f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x。综上,x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|。 答案　C 　 1.下列变化中不是周期变化的是 (　　) A.春去春又回 B.太阳东升西落 C.天干地支表示年、月、日的时间顺序 D.某同学每天放学回到家的时间 解析　某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响,一般会有少许差别,故不是周期变化。 答案　D 2.(多选)下列函数图象中具有周期性的