课时达标检测(4) 向量的数乘运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(四)　向量的数乘运算 基础达标 一、单项选择题 1.3(2a-4b)=(D) A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 解析　利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b。故选D。 2.设P,Q两点把线段AB三等分(P靠近A),则下列向量表达式中错误的是(D) A.= B.= C.=- D.= 解析　由向量数乘的定义可以得到A,B,C中的表达式都是正确的,只有D错误。 3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则(D) A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k= 解析　因为向量m与向量n共线,所以设m=λn(λ∈R),所以-e1+ke2=λe2-2λe1,因为e1与e2不共线,所以所以 4.在△ABC中,G为△ABC的重心,记a=,b=,则=(A) A.a-b B.a+b C.a-b D.a+b 解析　因为G为△ABC的重心,所以=(+)=a+b,所以=+=-b+a+b=a-b。故选A。 5.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD为(A) A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 解析　如图所示,因为=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),所以=2。所以与共线,且||=2||。又因为这两个向量所在的直线不重合,所以AD∥BC,且AD=2BC。所以四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形。 6.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若=+λ,则λ等于(B) A. B. C. D. 解析　因为A,B,D三点共线,所以+λ=1,解得λ=。 二、多项选择题 7.设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,一定能使+=0成立的是(AD) A.a=-2b B.a=2b C.a=b D.a=-b 解析　因为与a同向的单位向量为,与b同向的单位向量为,所以若+=0,则a,b方向相反。故选AD。 8.如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB=2CD,AD与BC相交于点O,则(ABC) A.-= B.+++=0 C.|+2|=0 D.=+ 解析　对于A,-==,所以A正确;易知B正确;对于C,易知△OCD∽△OBA,所以==,即=-,所以|+2|=|-|=|0|=0,所以C正确;对于D,==(+)=(+2)=+,故D不正确。故选ABC。 三、填空题 9.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是 ± 。  解析　由a=λb,得|a|=|λb|=|λ||b|。因为|a|=3,|b|=5,所以|λ|=,即λ=±。 10.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC。若=a,=b,则= -a+b 。(用a,b表示)  解析　=+=+=+(+)=-+=-a+b。 11.已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若=3+,则x= -2 。  解析　因为点P在直线AB上,所以=λ,λ∈R,-=λ(-),即=λ+(1-λ),所以所以x=-2。 四、解答题 12.计算: (1)6(3a-2b)+9(-2a+b); (2)(3a+2b)-a-b-a+b+a; (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)。 解　(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b。 (2)原式=3a-a+2b-b-a+a+b =a+b-a+b =a+b-a-b=0。 (3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b。 13.在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和。 解　如图,设=a,=b。 因为M,N分别是DC,BC的中点, 所以=b,=a。 因为在△ADM和△ABN中, 即 令①×2-②,得b=(2c-d), 令②×2-①,得a=(2d-c), 所以=d-c,=c-d。 素养提升 14.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(B) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析　为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向。又λ∈[0,+∞),所以λ+的方向与+的方向相同。而=+λ,所以点P在上移动。所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心。 15.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线?请证明你的结论。 解　b与a+c共线。证明如下: 因为a+b与c共线, 所以存在唯一实数λ,使得a+b=λc　①。 因为b+c与a