课时达标检测(2) 向量的加法运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

课时达标检测(二)　向量的加法运算 基础达标 一、单项选择题 1.++++等于(C) A. B. C. D. 解析　++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=。故选C。 2.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(B) A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+) km 解析　如图,易知tan α==,所以α=30°。故a+b的方向是北偏东30°。又|a+b|==2(km)。故选B。 3.如图,在正六边形ABCDEF中,++等于(D) A.0 B. C. D. 解析　++=++=+=。 4.向量(+)+(++)=(C) A. B. C. D. 解析　根据向量的运算法则,可得(+)+(++)=(+)+(+)+=++=+-=。故选C。 5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为(B) A.2 B.4 C.12 D.6 解析　因为+=,所以++的长度为的模的2倍。又||==2,所以向量++的长度为4。 6.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,则△ABC的形状是(D) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 解析　以AB,AC为邻边作▱ABDC,因为AB=AC=1,AD=,所以∠ABD为直角,该四边形为正方形,所以∠BAC=90°,△ABC为等腰直角三角形。故选D。 二、多项选择题 7.给出下面四个命题,其中是真命题的是(AB) A.+=0 B.+= C.+= D.0+=0 解析　根据向量加法的三角形法则,知A,B正确。 8.设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有(AC) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 解析　由条件得(+)+(+)=0=a。故选AC。 三、填空题 9.如图,在▱ABCD中,O是AC和BD的交点。++=  ;++= 0 。  10.已知点G是△ABC的重心,则++= 0 。  解析　如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,则+=,+=0,所以++=0。 11.在边长为1的等边三角形ABC中,|+|= 1 ,|+|=  。  解析　易知|+|=||=1,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=。 四、解答题 12.如图,已知▱ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点(靠近D点),求作: (1)+;(2)+。 解　(1)延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量即为所求。 (2)在AB上取点G,使AG=AB,则向量即为所求。 13.如图,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6 km/h,测得小船 正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶,求小船在静水中速度的大小及方向。 解　如图,设表示小船垂直于河岸行驶的速度,表示水流的速度,连接BC,过点B作AC的平行线,过点A作BC的平行线,两条直线交于点D,则四边形ACBD为平行四边形,所以就是小船在静水中的速度。在Rt△BAC中,||=8 km/h,||=6 km/h,所以||=||==10 km/h。因为∠DAB=∠ABC,所以tan∠DAB=tan∠ABC==。所以小船在静水中的速度的大小为10 km/h,方向与水流方向的夹角为+∠DAB,其中tan∠DAB=,∠DAB∈。 素养提升 14.若|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值是 3 。  解析　在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,||即|a+e|的最大值,最大值是3。 15.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E,F,使BE=DF,用向量方法证明:四边形AECF是平行四边形。 证明　因为=+,=+,又=,=,所以=,即AE与FC平行且相等。所以四边形AECF是平行四边形。 学科网（北京）股份有限公司 $$