6.2.3 向量的数乘运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 　　一根细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a, 那么它在同一方向上运动4秒钟的位移对应的向量怎样表示?是4a吗?蚂蚁向西运动4秒钟的位移对应的向量又怎样表示?是-4a吗?你能用图形表示吗? 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则,理解两个平面向量共线的含义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 1.向量的数乘运算 (1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度和方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|。 ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反。 ③由①可知,当λ=0时,λa=0; 由①②知,(-1)a=-a。 (2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有: ①λ(μa)=(λμ)a; ②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb; 特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb。 (3)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算结果仍是向量。对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b。 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa。也就是说,位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。 微提醒 (1)λ是实数,a是向量,它们的积λa仍然是向量。实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如λ+a,λ-a均没有意义。(2)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算。主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量,实数指的是向量的系数。(3)定理中a≠0不能漏掉。若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa。 微思考 1.数乘可以伸缩向量的模,同时也可以改变向量的方向吗? 提示:当λ>0时,不改变方向,当λ<0时,所得向量与原向量反向。 2.若a,b不共线,则a,b中任意一个均不为0,对吗? 提示:正确。 类型一 向量的线性运算 　　【例1】　(1)化简:3a-[6a-2b-4(2a-3b)]+(a+8b)。 解　3a-[6a-2b-4(2a-3b)]+(a+8b)=3a-(6a-2b-8a+12b)+(a+8b)=(3-6+8+1)a+(2-12+8)b=6a-2b。 (2)把满足5x-6y=a,-4x+5y=b的向量x,y用a,b表示出来。 解　由已知得 ①×4+②×5得y=4a+5b, ①×5+②×6得x=5a+6b, 所以x=5a+6b,y=4a+5b。 向量线性运算的基本方法:(1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算。例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数。(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当地使用运算律,可以简化运算。 【变式训练】　化简:(4a-3b)+b-(6a-7b)。 解　原式=4a-3b+b-a+b=4-a+-3++b=a-b=a-b。 类型二 用已知向量表示未知向量 【例2】　如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,且BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,。 解　=-=a-b, ===a-b, 所以=+=b+a-b=a+b。 又因为=a+b,CN=CD, 所以==a+b, 所以=- =a+b-a+b=a-b。 用已知向量表示相关向量的基本思路:用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解。 【变式训练】　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA。记=m,=n,则=(B) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 解析　因为=+=+3,又因为=+,所以=-2+3=-2m+3n。故选B。 (2)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则向EM=(B) A.+ B.+ C.+ D.+ 解析　因为点M是△ABC的边BC的中点,所以=(+),所以=+=-+(+)=+。 类型三 共线定理的应用 　　命题方向1:向量共线的基本内容 　　【例3】　(1)设向量a,b不平行,向量a+λb与-a+b平行,则实数λ= -4 。  解析