6.2.2 向量的减法运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 　　 已知向量是向量与向量x的和,如图所示。指出表示x的有向线段;向量x的模与||,||有什么关系? 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算法则,理解向量减法的几何意义。 1.相反向量 定义 我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量 性质 ①对于相反向量有:a+(-a)=0 ②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0 ③零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的减法 (1)定义:求两个向量差的运算叫做向量的减法。 a-b=a+(-b),减去一个向量就相当于加上这个向量的相反向量。 (2)几何意义:a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 微提醒 (1)两个向量的差仍是一个向量。(2)向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 微思考 1.有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗? 提示:不对,相反向量要从“模长”与“方向”两个方面去理解,不仅是方向相反,还必须长度相等。 2.代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立? 提示:含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,移项法则对向量等式也是适用的。 类型一 向量减法运算及其几何意义 　　【例1】　(1)四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则=(A) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 解析　=-=(+)-=a+c-b。 (2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c。 解　解法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c。 ①　 ② 解法二:如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c。 求作两个向量差向量的2种思路:(1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量。(2)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可。 【变式训练】　(1)(多选)如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论正确的是(ABD) A.-= B.-= C.-=0 D.-= 解析　,是相反向量,它们的和是零向量,但-=≠0。C错误,ABD正确。 (2)已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= 13 。  解析　因为||=12,||=5,∠AOB=90°,所以||2+||2=||2,所以||=13。因为=a,=b,所以a-b=-=,所以|a-b|=||=13。 类型二 向量减法的运算律 　　【例2】　化简:(1)+--; (2)(++)-(--)。 解　(1)+--=(-)+(-)=+=。 (2)(++)-(--)=+-+=+++=+=0。 向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点。 【变式训练】　化简下列各式: (1)-+-; (2)(-)+(-)。 解　(1)-+-=+-=-=。 (2)(-)+(-)=+++=+(++)=+0=。 类型三 用已知向量表示未知向量 【例3】　如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,。 解　因为四边形 ACDE是平行四边形, 所以==c,=-=b-a, 故=+=b-a+c。 用向量表示其他向量的方法:(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则。(2)表示向量时要考虑以下问题:它是某个平行四边形的对角线吗?是否可以找到由起点到终点的恰当途径?它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点?(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则。 【变式训练】　如图所示,解答下列各题: (1)用a,d,e表示; (2)用b,c表示; (3)用a,b,e表示; (4)用c,d表示。 解　(1)=++=d+e+a=a+d+e。 (2)=-=--=-b-c。 (3)=++=e+a+b。 (4)=-=-(+)=-c-d。 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的应用 【典例】　已知||=10,||=7,则||的取值范围是　　　　。  【解析】　从题目中所给向量的起点与终点容易看出,所给向量与所求向量的关系为+=,然后根据向量的和的模与各向量模的和的关系,分为与是否共线两种情况,可以得出答案。 |||-|||≤||≤