6.2.1 向量的加法运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版）

6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 　　 《西游记》中唐僧取经的路线是从东土大唐出发,先绕到火焰山,再往西天,若孙悟空单独前往,可以直接飞往西天。如果把位移看成向量,我们就引入了向量的运算。 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 1.向量的加法 (1)定义:求两个向量和的运算。 (2)运算法则: 图示 几何意义 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+= 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 (3)规定:对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a。 (4)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型;力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。 (5)一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立。 2.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a。 (2)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c。 微提醒 使用向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件。而向量加法的平行四边形法则应用的前提是共起点。 微思考 向量a+b与非零向量a,b的模及方向的关系? 提示:①当a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。 ②当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。 ③当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。 若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 向量加法运算及其几何意义 　　【例1】　(1)如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b。 解　解法一:在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b。 解法二:在平面内任取一点O,作=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,连接OC,则=+=a+b。 (2)如图,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c。 解　由已知,得a+b=+=,又=c,所以延长AC至点E,使||=||,则a+b+c=,即所求,如图。 (1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”,向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”。(2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和。(3)当两个非零向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的。 【变式训练】　如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量): (1)+=  ;  (2)+=  ;  (3)++=  。  解析　由已知可得四边形DFCB为平行四边形。 (1)易知=。由向量的三角形法则,得+=+=。 (2)易知=,所以+=+=。 (3)++=++=。 类型二 向量加法的运算律 　　【例2】　(1)下列向量的运算结果为零向量的是(D) A.+ B.++ C.+++ D.+++ 解析　+=+=;++=+=;+++=++=;+++=+++=0。故选D。 (2)++++等于(B) A. B.0 C. D. 解析　++++=(++)+(+)=0+0=0。故选B。 向量加法运算律的意义和应用原则:(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当运用向量加法法则运算的目的。实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。 【变式训练】　如图所示,在▱ABCD中,++=(A) A. 　　B. C. 　　D. 解析　++=++=+=。故选A。 类型三 向量加法的实际应用 【例3】　长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h。 (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°)。 解　(1)如图所示,表示船速,表示江水速度,以AD,AB为邻边作▱ABCD,则表示船实际航行的速度。 (2)在Rt△ABC中,||=6,||=15,于是||===≈16.2。因为tan∠CA