3.3.2第2课时抛物线的简单几何性质（2）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　抛物线的简单几何性质(2) [课标解读]　1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.2.解决一些抛物线的综合问题． 教材要点 要点一　和抛物线有关的轨迹方程 根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程． 要点二　直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②|AB|＝x1＋x2＋p； ③＝. 基础自测 1.过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则·＝(　　) A． B． C．－ D．－ 2．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 3．过抛物线y2＝2x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|AB|＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，且|AB|＝8，则线段AB中点的横坐标为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________． 题型 1　与抛物线有关的轨迹问题 例1　已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 方法归纳 求抛物线轨迹问题的2种方法 巩固训练1　若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程． 题型 2　抛物线的综合问题 例2　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2.求k1＋k2的值． 方法归纳 解决抛物线综合问题的基本策略 对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论． 巩固训练2　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，2)，O为坐标原点． (1)求焦点F的坐标及其准线方程； (2)抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积． 题型 3　与抛物线有关的最值问题 例3　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． 方法归纳 求距离最值的2种策略 巩固训练3　 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积． 第2课时　抛物线的简单几何性质(2) 新知初探·课前预习 [基础自测] 1．解析：由题意可得M，N， 所以·＝＋1×(－1)＝－. 答案：D 2．解析：依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧， 设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1， 所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等， 其轨迹为抛物线． 答案：D 3．解析：y2＝2x，2p＝2，p＝1， |AB|＝x1＋x2＋p＝4＋1＝5. 故选B. 答案：B 4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝8， 可知x1＋x2＋2＝8， 故＝3. 答案：C 5．解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)， 所以－＝－，故p＝2. 答案：2 题型探究·课堂解透 例1　解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等． 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. 巩固训练1　解析：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大， 所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等． 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，所以y2＝2x(x≠0)． 例2　解析：(1)设点M(x0，y0)，则|y0|＝，所以()2＝2px0，解得x0＝3. 因为|MF|＝x0＋＝3＋＝5，所以p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)由题知，F(2，0)，Q(－2，0)，直线AB的斜率必存在，且不为零． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2k， 由，得k2x2