3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质（1）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质(1) [课标解读]　1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 教材要点 要点一　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 (，0) (－，0) (0，) (0，－) 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 ________ ________ ________ ________ 对称轴 ________ ________ 顶点 ________ 离心率 e＝1 状元随笔　 1.椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 2．抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形． 3．顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点． 要点二　直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：________、________和__________． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有________交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线________⇔有________公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线________⇔只有________公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线________⇔________公共点． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) (4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　　) 2．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A．(－m，－n) B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 4．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________． 题型 1　抛物线的几何性质的应用 例1　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 方法归纳 确定抛物线的几何性质的三个要点 巩固训练1　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________． 题型 2　直线与抛物线的位置关系 例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点． 方法归纳 直线与抛物线交点个数问题的解题策略 巩固训练2　若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 题型 3　直线与抛物线的相交弦问题 例3　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝，求AB所在的直线方程． 方法归纳 求直线与抛物线相交弦长的2种方法 巩固训练3　已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 易错辨析　忽略直线与抛物线有一个公共点的特 殊情况致误 例4　(多选)过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．(－1)x－2y＋＋1＝0 D．(1＋)x＋2y＋－1＝0 解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意． (2)当直线l的斜率存在时， ①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点． ②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)