3.2.1双曲线及其标准方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1　双曲线及其标准方程 [课标解读]　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 教材要点 要点一　双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的__________________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的________． 用集合语言描述双曲线的定义：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a<|F1F2|}． 状元随笔　若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． 要点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1________，F2________ F1________，F2________ a，b，c的关系 c2＝________ 状元随笔　焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(　　) (3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(　　) (4)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．(　　) 2．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1或＝1 D．＝0或＝0 4．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(±，0) B．(0，±2) C．(0，±) D．(±2，0) 5．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________． 题型 1　双曲线标准方程的判断 例1　方程＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是________． 方法归纳 (1)判断双曲线的类型首先要将方程化为标准方程． (2)若方程为＝1(mn≠0)，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若，则双曲线的焦点在x轴上；若，则双曲线的焦点在y轴上． 巩固训练1　已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) A．B．5 C．7 D． 题型 2　求双曲线的标准方程 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点A(1，－)； (2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上． 方法归纳 求双曲线标准方程的2种方法 巩固训练2　(1)已知双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2，1)的双曲线方程是(　　) A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．＝1 D．x2－＝1 题型 3　双曲线定义的应用 例3　(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 方法归纳 应用双曲线定义的3种策略 巩固训练3　(1)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．＝1(x≤－) B．＝1(x≥) C．＝1 D．＝1 (2)已知F1，F2为双曲线＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________． 易错辨析　忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值致错 例4　若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝__