3.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　直线与椭圆的位置关系 [课标解读]　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 教材要点 要点　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 ____解 Δ____0 相切 ____解 Δ____0 相离 ____解 Δ____0 状元随笔　(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．(　　) (2)长轴是椭圆中最长的弦．(　　) (3)直线y＝k(x－a)与椭圆＝1的位置关系是相交. (　　) (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长最短．(　　) 2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　) A．2 B．± C．±2 D．±2 4．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于(　　) A．1 B．±1 C．－1 D．±2 5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 题型 1　实际生活中的问题 例1　(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．<D．> 方法归纳 解决与椭圆有关的实际问题的一般步骤 巩固训练1　圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：x＋2y－8＝0与椭圆C：＝1相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的角平分线所在的直线的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 题型 2　直线与椭圆的位置关系 例2　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 方法归纳 判断直线与椭圆的位置关系的一般步骤 巩固训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 题型 3　直线与椭圆的相交弦问题 例3　已知椭圆＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点． (1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； (2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 方法归纳 1．直线被椭圆截得的弦长的2种求法 2．解决椭圆中点弦问题的2种方法 巩固训练3　过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． 易错辨析　忽视隐含条件致错 例4　若直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________． 解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5) 答案：[1，5) 易错警示 易错原因 纠错心得 本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞)． 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况． 第2课时　直线与椭圆的位置关系 新知初探·课前预习 要点 两　>　一　＝　无　< [基础自测] 1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．解析：联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交． 答案：C 3．解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8. ∴m＝±2. 答案：C 4．解析：因为椭圆x2＋＝1的焦点F1(0，－3)，F2(0，3)，所以b＝1或－1. 答案：B 5．解析： 由消去y并化简得x2＋2x－6＝0. 设直线与椭圆的交点为M(x1