第一章空间向量与立体几何章末复习学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专项培优① 　章末复习课 考点一　空间向量的概念及运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等． (2)通过对空间向量的概念及运算的学习，提升学生的数学运算素养． 例1　(1)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝(　　) A．－a＋b＋c 　B．a－b＋c C．a＋b－c 　D．a＋b－c (2)正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 考点二　利用空间向量证明线面位置关系 (1)用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． (2)通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的掌握，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 例2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. 求证：(1)AF∥平面BDE； (2)CF⊥平面BDE. 考点三　利用空间向量计算距离 (1)空间距离的计算思路 直线l外一点P到直线l的距离：PQ＝＝(其中A是l上的定点，是在l上的投影向量，＝a，u是l的单位方向向量)． 平面α外一点P到平面α的距离：PQ＝＝＝(其中A是平面α内的定点，n是平面 α的法向量)． (2)通过对利用空间向量计算距离的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 例3　长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求： (1)M到直线PQ的距离； (2)M到平面AB1P的距离． 考点四　利用空间向量求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m，n〉|. 2．通过对利用向量计算空间角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 例4　如图，在四棱锥P ­ ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，CD⊥PB，PD＝AD＝AB＝BC＝2. (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°，点E在线段AP上，且＝3，求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值． 考点五　利用空间向量解决探索性问题 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解”等． (2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． (3)通过对利用空间向量解决探索性问题的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 例5　在四棱锥P ­ ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，请说明理由． 例6　如图，在四棱锥S ­ ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S ­ ABCD的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 章末复习课 考点聚焦·分类突破 例1　解析：(1)＝＝＝－＝－，∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a＋b＋c. (2)∵＝＝， ∴·＝·＝·＋· ＝×22×cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2. 答案：(1)A　(2)C 例2　 解析：(1)证明：设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1， 所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE. (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相