1.4.2第2课时用空间向量研究夹角问题学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　用空间向量研究夹角问题 [课标解读]　1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 教材要点 要点一　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中________的二面角称为平面α与平面β的夹角． 状元随笔　二面角的范围为[0，π]. 要点二　空间角的向量求法 角的分类 向量求法 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cos θ＝________＝________ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝________＝________ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝________＝________ 状元随笔　(1)两条异面直线所成的角的范围是(0，]. (2)直线与平面所成的角的范围是[0，]. (3)两个平面的夹角是(0，]. (4)当〉≤时，两个平面的夹角θ＝〉，此时cos θ＝〉＝； 当〉≤π时，两个平面的夹角θ＝π－〈〉，此时，cos θ＝〉)＝－cos 〈〉＝. 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角．(　　) (3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　) (4)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　　) 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120° B．60° C．30° D．以上均错 3．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D． 4．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．或－ 5．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________． 题型 1　利用向量法求两异面直线所成角 例1　如图所示，在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角． 方法归纳 利用坐标法求两异面直线所成角的步骤 巩固训练1　在三棱锥O ­ ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA＝OB＝OC＝2，求直线AE与BC所成角的大小． 题型 2　利用向量方法求直线与平面所成角 例2　在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，M，N分别为A1C1，BB1的中点． (1)求证：MN∥平面A1BC； (2)求直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值． 方法归纳 利用法向量计算直线与平面的夹角θ的步骤 巩固训练2　如图所示，在直四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 题型 3　利用向量方法求两个平面的夹角 例3　如图，在四棱锥P ­ ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，O为BD的中点，BD＝4，PB＝PC＝PD＝. (1)证明：OP⊥平面ABCD； (2)若BC＝CD，求平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值． 方法归纳 利用法向量求两个平面夹角的步骤 巩固训练3　在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点． (1)证明：EF∥平面PAD； (2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值． 易错辨析　混淆二面角与面面角的大小 例4　已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a)． 设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有 和. 取n