1.4.2第1课时用空间向量研究距离问题学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1课时　用空间向量研究距离问题 [课标解读]　1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 教材要点 要点　空间距离的向量求法 分类 点到直线的距离 点到平面的距离 图形 语言 文字 语言 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P∉l，＝a，向量在直线l上的投影向量为，则PQ＝＝________ 设已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，向量是向量在平面上的投影向量，PQ＝________ 状元随笔　表示向量在法向量n→方向上的投影的大小，因此点P到平面α的距离也可以表示成 或. 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(　　) (2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(　　) (3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．(　　) (4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(　　) 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D． 3．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　) A． B． C． D． 4．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 5．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________． 题型 1　利用空间向量求点线距 例1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD ­ A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 方法归纳 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 巩固训练1　已知直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 题型 2　利用空间向量求点面距、线面距 例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 方法归纳 用向量法求点面距的一般步骤 巩固训练2　在三棱锥S ­ ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 题型 3　利用空间向量求面面距 例3　如图，正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 方法归纳 求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主． 巩固训练3　如图，正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 易错辨析　对距离公式记忆不够准确致误 例4　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)， ＝(4，－2，－2)，＝(0，－2，0)，＝(2，－4，－2)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)． 由得 所以x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1，1，－3)． 所以点B到平面EFG的距离d＝＝＝. 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略法向量的模，误认为d＝|·n|. 利用距离公式求解时一定牢记距离公式． 第1课时　用空间向量研究距离问题 新知初探·课前预习 要点 [基础自测] 1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝， 则点P到直线l的距离d＝ ＝. 答案：A 3．解析：∵n＝(1，0，－1)与直线l垂直， ∴n的单位向量n0＝. 又∵l经过点A(2，3，1)，∴＝(2，0，1)， ∴在n上的投影·n0＝(2，0，1)·＝.∴点P到l的距离为. 答案：B 4．解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)， ∴n0＝. 又点A(－1，3，0)在α内，∴＝(－1，－2，4)， ∴点P到平面α的距离为|·n0| ＝＝. 答案：D