1.4.1第2课时空间中直线平面的平行学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　空间中直线、平面的平行 [课标解读]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 教材要点 要点　空间中平行关系的向量表示 线线 平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔________⇔______________________ 线面 平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________________ 面面 平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔________⇔________________ 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．(　　) (2)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，则l∥α.(　　) (3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　) 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0 C．若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0 D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 3．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，则l1，l2的位置关系是(　　) A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．以上选项都不对 5．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________． 题型 1　利用空间向量证明线线平行 例1　在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 方法归纳 利用向量法证明线线平行的2种方法 巩固训练1　如图所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 题型 2　利用空间向量证明线面平行 例2　在四棱锥P ­ ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 方法归纳 利用空间向量证明线面平行的3种方法 巩固训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 题型 3　利用空间向量证明面面平行 例3　已知正方体ABCD ­ A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′. 方法归纳 利用空间向量证明面面平行的方法 巩固训练3　如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD. 易错辨析　忽视直线与平面平行的条件致误 例4　已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC(　　) A．直线DE与平面ABC平行 B．DE⊂平面ABC C．直线DE与平面ABC相交 D．直线DE与平面ABC平行或DE⊂平面ABC 解析：因为＝(－1，1，1)，＝(1，0，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n·＝0，n·＝0， 所以解得所以n＝(1，0，1)． 又＝(－1，－2，1)， 所以·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0， 所以⊥n，所以DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC. 因为＝(1，1，－1)，所以＝2， 所以A，B，C，D四点共面， 即点D在平面ABC内，所以DE⊂平面ABC，选B. 答案：B 易错警示 易错原因 纠错心得 本题易得直线DE的方向向量与平面ABC的法向量垂直，进而得到直线DE与平面ABC平行的错误解答，实际上，当直线DE在平面ABC内，也有与平面ABC的法向量垂直，因此，需进一步判断DE是否在平面ABC内． 当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面的位置关系有两