1.3.2空间向量运算的坐标表示学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [课标解读]　1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 教材要点 要点一　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝__________________ 减法 a－b a－b＝__________________ 数乘 λa λa＝__________________ 数量积 a·b a·b＝__________________ 状元随笔　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致． 要点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a·b＝______________ 模 |a|＝ |a|＝________________ 夹角 cos 〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉＝ 状元随笔　＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，若∥，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 要点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|＝________________． 状元随笔　(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||＝. 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．(　　) (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　　) (4)设A(0，1，－1)，O为坐标原点，则＝(0，1，－1)．(　　) 2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝(　　) A．(－1，2，5) B．(－1，4，5) C．(1，2，5) D．(1，4，5) 3．已知向量＝(1，0，1)，＝(2，1，－1)，那么向量＝(　　) A．(3，1，0) B．(－1，－1，2) C．(1，1，－2) D． 4．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·b＝(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 5．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，则的模为________． 题型 1　空间向量的坐标运算 例1　(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________； (2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________． 方法归纳 空间向量坐标运算的3类问题及解题方法 　 巩固训练1　(1)已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　) A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24) C．(－6，8，24) D．(－5，6，24) (2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________． 题型 2　空间向量平行、垂直的坐标表示 角度1　由平行、垂直关系求参数 例2　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 方法归纳 解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可． 巩固训练2　(1)已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是(　　) A．6 B．－6 C．4 D．－4 (2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值是________． 角度2　平行、垂直关系在立体几何证明中的应用 例3　在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点． 求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD. 方法归纳 对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系． 巩固训练3　 如图，已知正方形AB