1.1.2空间向量的数量积运算学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算 [课标解读]　1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度． 教材要点 要点一　空间向量的夹角 1．夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作________． 状元随笔　关键是起点相同！ 2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________． 状元随笔　两个向量的夹角是唯一确定的，且〈，〉＝〈，〉． 要点二　空间向量数量积 1．概念：已知两个非零向量a，b，则__________叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 状元随笔　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．(2)零向量与任意向量的数量积等于零． 2．投影向量：向量a向向量b投影，得到c＝____________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 3．性质 a⊥b⇔______，|a|2＝________,__|a|＝________，cos 〈a，b〉＝____________ 4．运算律 λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)． a·(b＋c)＝________(分配律)． 状元随笔　特别提醒：不满足结合律( ·) ·＝ ·( ·)． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cos 〈a，b〉·.(　　) (2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　) (4)在△ABC中，〈〉＝∠B.(　　) 2．(多选)设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　) A．a2＝|a|2 B．＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 4．在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，设＝a，＝＝c，则a·(b＋c)的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 5．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________． 题型 1　数量积的运算 例1　 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： ①·； ②·； ③·； ④·. 方法归纳 计算空间向量数量积的2种方法 巩固训练1　如图，正方体ABCD ­ A1B1C1D1 的边长为1，求： ； ； ． 题型 2　用数量积求角度 例2　如图，已知正三棱柱ABC ­ A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 方法归纳 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 巩固训练2　如图，在正方ABCD ­ A1B1C1D1中，求与夹角的大小． 题型 3　用数量积判断或证明垂直问题 例3　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 方法归纳 利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略 巩固训练3　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”) 题型 4　用数量积求长度 例4　如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为________． 方法归纳 求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可． 巩固训练4　在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 易错辨析　混淆向量的夹角与空间角 例5　如图所示，在平面角为120° 的二面角α ­ AB ­ β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． 解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0. ∵二面角α ­ AB ­ β的平面角为120°，∴〈〉＝180°－120°＝60°. ∴2＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴