5.3.2第2课时函数的最大(小)值学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第2课时　函数的最大(小)值 【课标解读】 1.理解函数最值的概念． 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 新知初探·课前预习——突出基础性 【教 材 要 点】 要点一　最值的概念❶ 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值． 批注❶　(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值． 要点二　函数在区间[a，b]上最值的求法 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值❷的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________； (2)将函数y＝f(x)的各________与端点处的函数值________，________比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________． 批注❷　函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值． 【夯 实 双 基】 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　) (4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　) 2．函数y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为(　　) A.32　　　　　 B．27 C．16 D．40 3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是____________． 题型探究·课堂解透——强化创新性 题型1　求函数的最值 例1　(1)求函数f(x)＝x2(x－2)在区间[－1，3]上的最大值和最小值； (2)求函数f(x)＝ln x－在区间[1，e]上的最值． [听课记录] 【方法总结】 利用导数求函数最值的方法 巩固训练1　求函数f(x)＝(x－1)ex在区间[－1，2]上的最大值和最小值． 题型2　由函数的最值确定参数的值 例2　设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－，求函数的解析式． [听课记录] 【方法总结】 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题． 巩固训练2　若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值． 题型3　利用导数证明不等式 例3　已知函数f(x)＝ln x－x. (1)求f(x)的最大值； (2)证明：ln x<x<ex(x>0)． [听课记录] 【方法总结】 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． 巩固训练3　求证：x>1时，x－1<x ln x. 第2课时　函数的最大(小)值 新知初探·课前预习 [教材要点] 要点一 连续不断 要点二 (1)极值　(2)极值　f(a)　f(b)　最大值　最小值 [夯实双基] 1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．解析：因为y′＝－3x(x－4)，所以当0≤x≤4时，y′≥0； 当x>4时，y′<0. 所以函数在[0，4]上单调递增；在(4，＋∞)上单调递减， 因此，y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为－43＋6×42＝32. 故选A. 答案：A 3．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值． 故选D. 答案：D 4．解析：由题设，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)， ∴[0，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减；(1，2]上f′(x)>0，f(x)单调递增； ∴f(x)在[0，2]上的最小值为f(1)＝－7＝－. 答案：－ 题型探究·课堂解透 例1　解析：(1)∵f(x)＝x2(x－2)＝x3－2x2，所以，f′(x)＝3x2－4x. 由f′(x)＝3x2－4x>0，解得x<0或x>； 由f′(x)＝3x2－2x<0，解得0<x<， 所以f(x)在[－1，