17.2.1 直接开方法 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

17.2 一元二次方程的解法 1.直接开方法 第十七章 一元二次方程 1 一、学习目标 1.会用直接开平方法解形如x2=m,(ax+n)2=m(m≥0)的一元二次方程 2.知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方运算 二、新课导入 (15+x)2=300 市区内有一块边长为15米的正方形绿地,为了城市规划,需扩大绿化面积,预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米,设这块绿地的边长增加了x米，请列出方程. 怎么求解这个方程？ 三、概念剖析 对于形如x2=m(m≥0)的方程,可以直接用开平方得到x= .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法,简称开平方法. 回答下列问题： (1)9的平方根是 ，那么x2=9的根是 ； (2)0的平方根是 ，那么x2=0的根是 ； (3)-1的平方根 ，那么x2=-1的根 ； ±3 ±3 0 0 不存在 不存在 四、典型例题 例1.用直接开平方法解下列方程： （1）y2-64=0 （2）16x2-25=0 解：(1)移项，得y2=64 开平方，得y1=8,y2=-8 (2)移项，得16x2=25 两边同时除以16，得x2= 开平方，得x1= ,x2= 提示：将方程化成x2=m(m≥0)的形式再求解 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 . 四、典型例题 例2.解方程： （1）(3x+ )2=0 （2）2(x+1)2-6=0 解：（1）开平方，得3x+ =0 解得x= 提示：①括号内看成一个整体 ②将方程化成(ax+n)2=m(m≥0)的形式再求解 （2）移项，得2(x+1)2=6 两边同时除以2，得(x+1)2=3 开平方，得x+1= 解得x1= ,x2= 四、典型例题 归纳总结： 用直接开平方法还可以解形如(ax+n)2=m(m≥0)方程 从(ax+n)2=m ax+n= 实质上：一元二次方程 两个一元一次方程 变形 转化 四、典型例题 思考：如果等号两边都是数的平方，怎么求解？以(2x-1)2=(2-x)2为例. 提示：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数 解：开平方，得2x-1=±(2-x) 当2x-1=2-x时，解得x=1 当2x-1=-(2-x)时，解得x=-1 综上所述：x1=1,x2=-1 形如(ax+b)2=(cx+d)2的方程,可以用直接开平方法解决,得到两个关于未知数的一元一次方程,即ax+b=±(cx+d) 四、典型例题 【当堂检测】 1.判断下列一元二次方程能否用直接开方法求解,用“ ”“×”表示. (1)x2=2 ( ) (2)p2-49=0 ( ) (3)x2=3x2-5 ( ) (4)(5x+9)2-2x-16=0 ( ) (5)121-(y+3)2=0 ( ) × √ √ √ √ √ 【当堂检测】 2.用直接开平方法解下列方程 （1）(2x+3)2=24 （2）(x-2)2=3 （3）(1-3x)2=x2 解：（1）开平方，得2x+3= 解得x1= ,x2= （2）两边同时乘以3，得(x-2)2=9 开平方，得x-2=±3 解得x1=5,x2=-1 （3）开平方，得1-3x=±x 解得x1=0.25,x2=0.5 例3.探究一元二次方程a(x-n)2=m的解的个数情况及其a、m的符号关系. 关键信息：题目隐藏的条件a≠0 解：a(x-n)2=m可化简为(x-n)2= 根据平方根的性质分三种情况讨论， ①方程无解，则 <0， 此时a、m异号 ②方程有一个解，则 =0， 此时a≠0，m=0 ③方程有两个解，则 >0， 此时a、m同号 平方根性质：正数有两个平方根，0的平方根为0，负数没有平方根. 四、典型例题 【当堂检测】 3.下列选项中，使得关于x的一元二次方程(m+1)(x-4)2=m+m2有两个相同的解的是( ) A.m=-1 B.m=0 C.m=0或-1 D.m=4 B 五、课堂总结 1.直接开平方