第04讲 平面向量的应用（垂直、长度、夹角等）（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第04讲 平面向量的应用（垂直、长度、夹角等）（精讲） ①用向量解决垂直问题 ②用向量解决线段长度问题 ③用向量解决夹角问题 ④平面向量在物理中的应用 一、平面几何中的向量方法 （1）向量在平面几何中的应用 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤模长：； ； ⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). （2）用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 题型一：用向量解决垂直问题 解题策略 可用向量方法求解的平面几何中的一些问题 (1)证明线段平行或相等或点共线问题,可用向量共线定理. (2)证明线段平行或相等、判断平面几何图形的形状等,可用向量数乘运算、向量共线定理. (3)证明线段垂直问题可以转化为线段对应向量的数量积为0. 【例1】（单选题）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 一、单选题 1．（2024·全国·高一假期作业）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（2024上·山西·高三统考期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 二、填空题 3．（2024·全国·高一假期作业）在四边形中，，则四边形的形状是 . 三、解答题 4．（2024·全国·高一假期作业）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 5．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 6．（2024·全国·高一假期作业）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 题型二：用向量解决线段长度问题 解题策略 (1)用向量法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底,用公式求解. ②建立坐标系,确定相应向量的坐标a=(x,y),则 (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想方法 ①基向量法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. ②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【例1】（单选题）在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得. 【详解】取中点O，连接， ，即，M为BC边上靠近