第02讲 一元二次方程的解法（5个知识点+8类题型+18道强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第02讲 一元二次方程的解法（5个知识点+8类题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.用开平方法解一元二次方程； 2.用配方法解一元二次方程； 3.用公式法解一元二次方程； 4、用因式分解法解一元二次方程； 5、根的判别式的应用； 1.掌握用开平方法解一元二次方程； 2.掌握用配方法解一元二次方程； 3掌握.用公式法解一元二次方程； 4、掌握用因式分解法解一元二次方程； 5、掌握根的判别式的应用； 知识点一：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 【即学即练1】 1．（2023下·浙江温州·九年级统考阶段练习）若关于x的方程有实数根，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 【即学即练2】 2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） 【即学即练3】 3．（2023下·浙江丽水·八年级统考期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 【即学即练4】 4．（2023下·浙江·八年级专题练习）方程的解是（　　） A．， B．， C． ， D． ， 知识点二：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程