第04讲 一元二次方程根与系数的关系（选学）（1个知识点+1类题型+18道强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第04讲 一元二次方程根与系数的关系（选学）（1个知识点+1类题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.一元二次方程根与系数的关系；. 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 知识点一：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即学即练1】 1．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）设方程的两个根为m，n，那么的值等于（    ） A． B． C．1 D．3 【即学即练2】 2．（2023·浙江宁波·九年级效实中学校联考自主招生）已知为正实数，，是方程的两个根，则(　　) A． B． C． D． 【即学即练3】 3．（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．（2023下·浙江·八年级统考期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（    ） A．或3 B． C．3 D．或7 1．（2024上·江苏常州·九年级统考期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．0 D．2 2．（2024上·福建泉州·九年级统考期末）以2和为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·重庆潼南·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程两个根的和等于（    ） A． B． C．3 D．10 4．（2023·四川广安·统考一模）一个等腰三角形的底边长是3，两腰长是关于x的方程的两个根，则该等腰三角形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 5．（2024·四川广元·统考一模）关于的一元二次方程中，若，，，则这个方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一个正根和一个负根 D．有两个正的实数根 6．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别为a，b，则的值（    ） A．2 B． C． D． 7．（2023上·广东东莞·九年级校联考阶段练习）若m，n是方程的两个根，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，若，则m的值为（　　） A． B．2 C．2或 D． 9．（2022·安徽·模拟预测）若方程有两个不相等的正实数根，则常数的取值范围为 ． 10．（2024上·山东日照·九年级校联考期末）已知m、n是方程的两根，则 ． 11．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知a，b是方程的两根，则 ． 12．（2024上·四川广安·九年级统考期末）设，是方程的两个实数根，则的值是 ． 13．（2023上·江苏·九年级专题练习）已知a、b是方程的根，则式子的值为 ． 14．（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根