7.3.2离散型随机变量的方差学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差 课标解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义． 2．会求离散型随机变量的方差、标准差． 3．会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题． 新知初探·课前预习——突出基础性 教 材 要 点 要点一　离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D(X)＝________________________＝____________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)❶. 要点二　离散型随机变量方差的性质❷ 设a，b，c为常数，则 (1)D(X＋b)＝________； (2)D(aX)＝________； (3)D(aX＋b)＝________． 助 学 批 注 批注❶　随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 批注❷　与均值的区别：离散型随机变量X乘以一个常数a，其均值变为原均值的a倍，方差变为原方差的a2倍． 夯 实 双 基　 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数，则D(a)＝0.(　　) (3)随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同．(　　) (4)标准差与随机变量本身有相同的单位．(　　) 2．若随机变量X的分布列如表，则X的方差D(X)是(　　) X －1 0 1 P A.0 B．1 C． D． 3．已知随机变量X的方差为D(X)＝3，则D＝(　　) A．9 B．3 C． D． 4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机________的质量较好． 题型探究·课堂解透——强化创新性　 题型 1 方差的性质及应用 例1　[2022·福建龙岩高二期末]已知随机变量X的分布列如下： X 2 3 6 P a 则D(3X＋2)的值为(　　) A．2 B．6 C．8 D．18 方法归纳 对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 巩固训练1　[2022·山东菏泽高二期末](多选)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足：Y＝2X＋1，则下列结论正确的有(　　) A．E(X)＝2 B．E(Y)＝4 C．D(X)＝1.8 D．D(Y)＝3.6 题型 2　求离散型随机变量的方差 例2　[2022·广东佛山高二期末]今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元．通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中： (1)求摸出2个红球的概率； (2)设获得优惠券金额为X，求X的方差． 方法归纳 求离散型随机变量X的方差的一般步骤 巩固训练2　甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． 题型 3方差的实际应用 例3　[2022·河北张家口高二期末]已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1和X2的分布列分别为 表1： X1 0.3 0.18 0.1 P 0.2 0.5 0.3 表2： X2 0.25 0.15 P 0.2 0.8 (1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此分析投资甲、乙两项目的利弊； (2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元，求在甲、乙两个项目