7.3.1离散型随机变量的均值学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1　离散型随机变量的均值 课标解读 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 新知初探·课前预习——突出基础性 教 材 要 点 要点一　离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝________________________＝________为随机变量X的均值或数学期望． 要点二　离散型随机变量的均值的性质 E(X＋b)＝________；E(aX)＝________；E(aX＋b)＝________． 要点三　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝________． 助 学 批 注 批注　(1)离散型随机变量的数学期望(均值)刻画了离散型随机变量的平均水平． (2)数学期望(均值)是一个常数，在大量实验下，它总是稳定的，不具有随机性． 夯 实 双 基　 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同．(　　) (3)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (4)随机变量的均值与样本的平均值是同一个概念．(　　) 2．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 p 则E(X)＝(　　) A．0 B．－1 C．－ D．－ 3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0 B． C．1 D．－1 4．已知随机变量ξ的期望为15，则E(3ξ＋5)＝________． 题型探究·课堂解透——强化创新性　 题型 1　求离散型随机变量X的均值 例1　[2022·山东淄博高二期末]某部门有职工10人，其中睡眠不足者6人，睡眠充足者4人．现从10人中随机抽取3人做调查． (1)用X表示3人中睡眠不足职工的人数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)求事件“3人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率． 方法归纳 求离散型随机变量的均值的步骤 巩固训练1　[2022·广东揭阳高二期末]学校组织数学解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道导数题和两道圆锥曲线题，先解答导数题，正确得2分，错误得0分；再解答两道圆锥曲线题，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分，小明同学准备参赛，他目前的水平是：每道导数题解答正确的概率是；每道圆锥曲线题解答正确的概率为.假设小明同学每道题的解答相互独立． (1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率； (2)求小明同学获得的总分X的分布列及均值E(X)． 题型 2　离散型随机变量的均值公式及性质 例2　已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 方法归纳 对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便． 巩固训练2　[2022·辽宁大连高二期末]设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X 1 2 3 P 1－q q 则X的数学期望为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题型 3均值的实际应用 例3　[2022·山东师范大学附中高二期中]2021年3月5日李克强总理在政府工作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金5 000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 000元； 方案二：交纳延保金6 230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元； 制造商为了制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 40 80 60 以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数． (1)求X的分布列； (2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？ 方法归纳 均值实际应用问题的解题策略 首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关