命题点7 直角三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024山东中考数学·基础夯实练优质课件PPT

第四章 三角形 命题点7 直角三角形的性质与判定 山东数学 数学 1 2022年版课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 2. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 2 要点归纳 1. 直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是 的三角形叫作直角三角形 性质 （1）直角三角形两锐角之和等于①_ ____，如图， ②_ ____； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的③______， 如图， 是斜边上的中线， ④_ _ ； （3）勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，那么⑤_ ____________ 一半 3 判定 （1）有一个角是 的三角形是直角三角形(定义)； （2）有两个角⑥______的三角形是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形； （4）某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三 角形(需证明) 面积 计算 公式 ，其中 ， 为两直角边长， 为斜边 长， 为斜边上的高 互余 续表 4 2.等腰直角三角形的性质与判定 性质 （1）两条直角边⑦______； （2）两个锐角⑧______，均为⑨____ ； （3）斜边上的高把它分成两个小的等腰直角三角形； （4）一条直角边与斜边长的比为⑩______ 相等 相等 45 1︰ 5 判定 （1）有一个角是 的等腰三角形是等腰直角三角 形； （2）有两个角均为⑪_____的三角形是等腰直角三角 形； （3）一个直角三角形的三条边长的比是⑫_ ________， 这个三角形是等腰直角三角形 续表 6 3. 含 角的直角三角形 （1）性质 图形 性质 （1）两个锐角的度数分别为 ，⑬_ ____； （2） 角所对的直角边等于斜边的⑭______；（反过来，若在一个直角三角形中，一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角的度数为⑮_ ____） （3）斜边中线将其分为一个⑯______三角形和一个底 角为 的等腰三角形.如图， 为斜边上的中线， 是⑰____________； （4）三条边长的比（从小到大）为⑱_________ 一半 等边 等边三角形 7 （2）几种特殊的三角形辅助线作法 简记：有特殊角 ， ，作垂线，构造直角三角形. 8 4.勾股定理及其探索过程 （1）赵爽弦图（图1）（鲁教七上P79做一做） 大正方形的边长为 ， 大正方形的面积为 ，又 ， . 9 （2）毕达哥拉斯拼图（图2）（鲁教七上P82数学理解） 由左图得 ，由右图得 ， . （3）伽菲尔德总统拼图（图3）（鲁教七上P72数学理解） 设梯形的面积为 ，则 ，又 ， . 10 （4）勾股定理的拓展应用（鲁教七上P82数学理解） ①如图4、5、6，以 的三条边为边向外分别作正方形、等边三角 形、半圆，则 、 、 之间的数量关系满足⑲_ ____________； 图4 图5 图6 11 ②如图7，以 的三条边为边向外分别作扇形，且满足 ，则 、 、 之间的数量关系满足⑳_ ____________. 图7 12 5.直角三角形的分类讨论 （1）已知直角三角形两边长求第三边时,若没有确定直角边和斜边,需要分类讨论 例1 直角三角形的两边长是3和4，则第三边长是㉑_ _______. 【思维点拨】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为 斜边，所以要讨论①边长为4的边为斜边；②边长为4的边为直角边. 例1题图 或5 13 （2）已知三角形为直角三角形，若没有确定直角顶点，需要分类讨论 例2 已知 ， 是线段 上的两点， , , ,以 为 中心顺时针旋转点 ,以 为中心逆时针旋转点 ，使 ， 两点重合成 一点 ,构成 ，设 ,若 为直角三角形，则 的值为㉒ _ _____. 例2题图 或 14 【方法指导】 是直角三角形，并没有说明哪条边是斜边，应该分情 况讨论： ①若 为斜边，则 ； ②若 为斜边，则 ； ③若 为斜边，则 ，即 ，方程没有 实数根. 15 随堂练习 在 中， . 图① （1）如图①，点 在 上， ①若 ，则 的度数为_ ____； ②若 ，，则 ___； 5 【拓展设问】 若 是斜边上的中线，则 _