7.3.4 正切函数的性质与图象（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.3.4正切函数的性质与图象 三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，那么正切函数的图象与性质又是怎样的呢？ 这节课我们一同来探讨： 正切函数的图象与性质 1.理解用单位圆中的正切线推导出正切函数的性质.（重点） 2.会画正切函数的图象（重点） 3.熟练掌握正切函数的图象与性质.（重点、难点） 思考1：角的正切是如何定义的？在单位圆中如何来表示？ 角的正切： ； 单位圆中： . 思考2：类比正弦函数、余弦函数，你能给出正切函数的概念吗？ 对于任意一个角x , 只要 ，就有唯一的正切值 与之对应，因此是一个函数，称为正切函数. 探究点1：正切函数的性质 问题3：如何做出任意角 的正切线？ A x O T T 问题4：你能由正切线得出正切函数具有哪些性质吗？ （1）定义域与值域 因为角的终边与横轴垂直时，其正切值不存在，因此 的定义域为 . 由正切线可以看出， 的值域为R. （2）奇偶性： 由诱导公式 可知，正切函数 是一个奇函数. （3）周期性： 由诱导公式可知，正切函数是周期为的周期函数. （4）单调性 由正切函数是周期为的周期函数可知，我们只要知道正切函数在内的单调性，就能得到正切函数在所有定义区间上的单调性. 由右图中正切线可以看出，正切函数在区间上单调递增.由此可知，在每一个开区间上都是单调递增的. x O A T T 追问：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 不是．比如 ，但 .所以，正切函数 是在每一个开区间上都单调递增，但在整个定义域内不是增函数. （5）零点 当角的终边落在轴上，即时，正切值为0.所以，正切函数 的零点为 . 探究点2：正切函数的图象 思考1：正切函数的哪些性质可以帮助作图呢？ 因为正切函数的周期为 ，所以只要作出 在上的图像，就可得到其在整个定义域内的图像. 又因为 是奇函数，所以只要知道在上的图像即可. 画出，[0,)的图像 （1）取 内的几个点，列表如下： x y=tanx 1 （2）描点-连线： x y O 1 -1 2 -2 3 -3 y=tanx在[0,)上单调递增 y=tanx是奇函数 y x 1 -1  - o 根据正切函数的周期性，把图象向左、向右连续平移， 得出在 上的图象. 正切函数的图象 正切曲线 由图可得，正切曲线是中心对称图形，其对称中心为 . o 由图象记性质， 由性质画图象 定义域 值 域 零点 单调性 奇偶性 周 期 对称中心 R 在开区间上单调递增 奇函数 例1 求函数的定义域. 【解析】令，则可以化成. 因为中，，所以 ，所以 所以函数的定义域为. 例2 求函数的周期 . 【解析】令，则可以化成. 由的周期为可知，对任意，当它增加到且至少要增加到时，对应的函数值才重复出现. 因为 说明对任意,当它增加到且至少要增加到时，对应的函数值才重复出现. 因此，的周期为. 函数有哪些性质呢? 正切型函数 (A>0,>0)的性质： 【总结】 R 3、对称中心： 4、单调性： 1、定义域为 ， 值域为 . 将 视作整体 本节我们主要学习了： 1.正切函数的图象： 2.正切函数的性质： 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性. $$