6.2.4向量的数量积（4大知识点+9大题型+分层练习）【名校生】2023-2024学年高一下数学知识讲与练（2019人教A版·必修二）

6.2.4 向量的数量积 知识点1：向量数量积的概念 4 01平面向量数量积的定义及辨析 4 知识点2：向量的投影与投影向量 5 02求投影向量 6 03平面向量数量积的几何意义 6 04用定义求向量的数量积 7 知识点3：向量数量积的性质 7 知识点4：平面向量数量积的运算律 7 05垂直关系的向量表示 8 06向量夹角的计算 8 07已知数量积求模 9 08已知模求数量积 9 09已知模求参数 10 【基础练·强化巩固】 10 【拓展练·培优拔高】 12 课堂目标 关键词 1.通过物理中功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理意义；会计算平面向量的数量积； 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义； 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 ① 向量的夹角、数量积 ② 向量的投影、投影向量 知识点1：向量数量积的概念 1. 向量的夹角 (1) 定义:已知两个非零向量，，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量和的夹角. (2) 向量夹角的情况如下： 范围 0 （0，） （，π） π 图形 关系 与同向 与的夹角为锐角 与垂直，计做 与的夹角为钝角 与反向 2. 数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量 cosθ 叫做向量与的数量积（或内积），计作：·，即·= cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 【点拨】概念理解 （1）向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量，而两向量的数量积，其结果是数量，不是向量 （2）两向量的数量积的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值的符号决定， （3）向量数量积是两向量之间的一种乘法运算，不同于实数的乘法，在书写上只能写为·，而不能省略“·”或使用“×” （4）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0≤0≤180° 01平面向量数量积的定义及辨析 【典例1】已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式1-1】在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是　(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式1-2】在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为 ． 知识点2：向量的投影与投影向量 1. 向量的投影与投影向量的定义 如下图所示，设，是两个非零向量，，我们考虑如下的变换过的起点A和终点 B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 如下图所示，我们可以在平面内任取一点O，作，。过点 M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量在向量上的投影向量. 2. 投影向量公式 设与同向的单位向量为,的夹角为θ,则 情况 图形 投影向量 结论 θ=0 ||=||cos0 的投影向量为||cosθ θ∈（0，） ||=||cosθ θ= ||=||cos θ∈（，π） ||=||cosθ θ=π ||=||cosπ 知识拓展 （1） 上的投影向量： （2）在上的投影向量： 3. 数量积的几何意义 ||||cosθ=||cosθ（的数量积可以看做的投影向量与的数量积） 02求投影向量 【典例2】已知，，，的夹角为120°，计算向量在向量方向上的投影数量． 【变式2-1】已知向量，满足，且，与的夹角为，则 .在方向上的投影数量为 . 【变式2-2】已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ． 03平面向量数量积的几何意义 【典例3】已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影数量为 ． 【变式3-1】设向量，，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，和的夹角为120°，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D．2 04用定义求向量的数量积 【典例4】已知等边三角形ABC的边长为1，设＝，＝，＝，则＝ . 【变式4-1】已知，与的夹角是120°，则等于（　　） A．3 B．－3 C．－3 D．3 【变式4-2】等腰中，则 ． 知识点3：向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是θ.是与方向相同的单位向量，则 （1）·=·=||cosθ（任意非零向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影向量的长度） （2）⇔·=0（注意：该性质的前提是是非零向量，否则未必成立） （3）当与同向时，·=||||；