6.2.1～6.2.2向量的加减法运算（2大知识点+7大题型+分层练习）【名校生】2023-2024学年高一下数学知识讲与练（2019人教A版·必修二）

6.2 向量的加减运算 知识点1：向量的加法 2 01向量的加法运算 4 02向量加法的运算律 5 03向量加法法则的几何应用 5 知识点2：向量的减法 5 04相反向量 7 05向量的减法法则 7 06向量减法运算律 8 07向量减法的几何应用 9 【基础练·强化巩固】 9 【拓展练·培优拔高】 12 课堂目标 关键词 1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法、减法运算及其运算规则， 2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意义 ① 向量的加法、向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则 ② 相反向量、向量的减法 知识点1：向量的加法 1. 向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 2. 两不共线向量的加法 （1）向量加法的三角形法则 ① 三角形法则 如图所示，已知非零向量，在平面内取任意一点A，作=，=，则向量叫做的和，记作，即=，两个向量的和仍是一个向量。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. ②适用条件：任意两个非零向量，包括共线的非零向量和不共线的非零向量 ③记忆口诀： 首尾相连，连首尾. (2)向量加法的多边形法则 已知n个向量，把这n个向量首尾顺次相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量加法的多边形法则。 特别提示：当首尾顺次相连的若千个向量构成封闭的向量链(封闭图形)时各向量的和就是. （3） 向量加法的平行四边形法则 ①平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量，为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是与的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. ②适用条件：只适用于两个不共线的向量求和.说明：当两非零向量共线时，不适用加法的平行四边形法则， ③记忆口诀：共起点作平行四边形，共点对角线为和. “共起点”：以同一点为起点的两个向量为邻边作平行四边形. “共点对角线为和”：平行四边形共起点的对角线表示的向量就是两已知向量的和向量. 3. 共线向量的加法 (1)零向量与任意向量的和 对于零向量与任意向量，规定＋＝＋＝ (2) 非零共线向量的和 当两非零向量共线时，三角形法则仍能适用 在平面内任取一点O，作=，=，则=+，如下左图表示两个同向共线向量和的情形，右图表示两个反向共线向量和的情形。 4. 向量形式的三角不等式 、不共线 、同向 、反向 图像 关系 总结 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当共线是取等号 5. 向量加法运算律 交换律 ＋＝＋ 结合律 （＋）+＝＋（） 01向量的加法运算 【典例1】化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋. 【变式1-1】（多选）在中，设，，，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若表示向南走1公里，表示向东走2公里，表示向北走3公里，则表示 . 02向量加法的运算律 【典例2】设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【变式2-1】已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】向量 03向量加法法则的几何应用 【典例3】已知，，，则等于 ． 【变式3-1】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    【变式3-2】如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示. 知识点2：向量的减法 1. 相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和-互为相反向量，于是-(-)=。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。 由两个向量和的定义易知+(-)=(-)+=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量。 2. 向量的减法 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-＝+(-)，求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 3. 向量减法的几何意义 （1） 平行四边形法则：在平面内任取一点O，作＝，＝，＝-,连接AB,由向量减法的定义知 -＝+(-)=+=.在四边形OCAB中,OB//CA所以 OCAB 是平行四边形.所以==-。 （2）三角形法则：在平面内任取一点O，作＝，＝，则向量-＝，如图所示. 【点拨】概念理解 (1)两个向量的差仍是一个向量. (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算,也可以用作向量加法的方法作向量的减法， (3)两个向量的减法运算法则是三角形法则,该法则的画法是将两个向量的起点平