5.3.2 函数的极值与最大（小）值（七大考点）-2023-2024学年高二数学下学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

5.3.2函数的极值与最大（小）值 1.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值. 2.理解函数的最值的概念，会用导数求在给定区间上函数的最值. 3.体会导数在解决实际问题中的作用,能利用导数解决简单的实际问题. 一、函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 二、函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点01函数(导函数)图象与极值的关系 1．若，则函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   2．（多选）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．函数的单调递增区间是， C．处是函数的极值点 D．时，函数的导函数小于0 3．（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 4．（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数 C．在时取极小值 D．在时取极小值 5．（多选）函数的图象如图，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 6．已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是 填序号 ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 考点02求已知函数的极值和最值 7．函数在上的最大值和最小值分别是（　 　） A．12， B．5， C．5， D．12， 8．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个单调区间 B．有两个极值点 C．有最小值 D．有最大值e 9．函数的极大值为 ． 10．设为实数，函数．求的极值. 11．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 12．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值. 考点03利用导数解决实际问题 13．如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为 . 15．（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积； （2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.      16．已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）． (1)将利润（元）表示为产量的函数； (2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？ 17．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知