命题点6 等腰三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2024河南中考数学·基础夯实练优质课件PPT

第四章 三角形 命题点6 等腰三角形的性质与判定 河南数学 数学 1 2022年版课标要求 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理: 等腰三角 形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合; 2. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角 形. 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于 . 探索等边 三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是 的等腰三 角形）是等边三角形. 2 要点归纳 1.等腰和等边三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 图形 性质 边、角 两腰①______；两底角② ______ 三条边均③______；三个内角 均为 相等 相等 相等 3 等腰三角形 等边三角形 性质 高线、中 线、角平 分线 顶角的平分线、底边上的 中线、底边上的高④ _______（三线合一） 每条边上的高线、中线、角平 分线均⑤______（三线合一） 两腰上的中线、高线、角 平分线分别对应相等 三条高线、三条中线、三条角 平分线均相等 轴对称性 是轴对称图形，对称轴为 顶角的平分线所在的直线 是轴对称图形，有3条对称轴 重合 重合 续表 4 等腰三角形 等边三角形 判定 （1）有两条边⑥______ 的三角形是等腰三角形 （定义）; （2）有两个角相等的三 角形是等腰三角形（等角 对等边） （1）三条边都相等的三角形 是等边三角形（定义）; （2）三个角都相等的三角形 是等边三角形; （3）有一个角是⑦_____的等 腰三角形是等边三角形 面积 相等 续表 5 2.等腰三角形的分类讨论 （1）遇角需讨论（顶角和底角） 已知等腰三角形的一个角为 ，求顶角或底角的度数时，分三种情况： ①若 为钝角，则 为顶角，底角的度数为⑧_ ___________； ②若 为直角，则 为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角的 度数为⑨_____； ③若 为锐角，则应分两种情况讨论：第一种，当 为顶角时，底角 的度数为⑩ ；第二种，当 为底角时，顶角的度数为 ⑪_ __________. 6 （2）遇边需讨论 （腰和底） 已知等腰三角形的两边长分别为 ， ，求周长 时，分两种 情况： ①若腰长为 ,则有 ②若腰长为 ，则有 7 注：分类讨论要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，三个角必须满足 “三角形的内角和等于 ”. 8 拓展 黄金三角形 黄金三角形有2种：（1）两个底角为 ，顶角为 ，如图1； 性质：①底边与腰的比为 ；②底角的角平分线 将 其分成底角为 和顶角为 的等 腰三角形；③过点 作 于点 ,则 为腰上 的垂直平分线. 图1 （2）两个底角为 ，顶角为 ，如图2； 性质：腰与底边的比为 . 图2 9 3.构成等腰三角形的常见图形 （1）垂直平分线 如图3， 为线段 的垂直平分线，则 为等腰三角形； 图3 10 （2）角平分线 平行 【基础模型】 ①如图4， 平分 ， ，则⑭_ _______为等腰三角形； 图4 ②如图5， 平分 ， ，则⑮_ _______为等腰三角形； 图5 11 【教材对接】 ③如图6，在 中， ， 平分 ， 平分 ，则 和 均为等腰三角形，且 的周长 ；（人教八上 P83 第 10 题） 图6 12 ④如图7，在 中， ， ， 平分 ， 平分 ，则 和 均为等腰三角形，且 的周长 . 图7 13 随堂练习 第1题图 1.如图①，在 中，点 是 上一点，连接 ． （1）若 ， ，则 ____ ； 24 （2）若 是等边三角形， ，则 ____ ； 30 （3）若 ， ， ， ，则 ___; 4 14 第1题图 （4） 若 ，， 平分 ,则图中 等腰三角形的个数是___； 3 （5）若 ，点 是 的中点，点 是 的中点，连接 ， 当 时,则 ___; 5 （6）如图②，若 是等边三角形， 是 边上的高，且 ，则 的值为___. 8 15 图① 2.如图①，在 中， ， 分别为 ， 的平分线，经 过点 的直线 ，交 于点 ，交 于点 ． （1）若 是一般三角形，则图中等腰三角形分别是 _ ________________； ， 16 变式1