专题9.6 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题9.6 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中点四边形问题之四大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 矩形、菱形、正方形中求定值问题】 1 【考点二 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】 8 【考点三 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】 17 【考点四 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】 24 【典型例题】 【考点一 矩形、菱形、正方形中求定值问题】 例题：（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图所示，矩形中，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 【变式训练】 1．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形的中心与正方形的顶点重合，且与边、相交于、，图中阴影部分的面积记为，两条线段、的长度之和记为，将正方形绕点逆时针旋转适当角度，则有（    ） A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变 2．（2022·浙江台州·统考一模）如图，边长为1的正方形ABCD沿着过中心的直线EF（EF不为对角线）对折，下列结论不正确的是（    ） A．的周长为定值 B．的度数为定值 C．四边形HCNO的面积为定值 D．的面积为定值 4．（2021下·广东广州·八年级广州市花都区秀全外国语学校校考期中）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．    (1)连接，求证：． (2)求证：矩形是正方形． (3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点二 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】 例题：（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，菱形的边长为2，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（　　　）    A． B． C．2 D．3 【变式训练】 1．（2024上·广东茂名·九年级统考期末）如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ． 2．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ． 3．（2024上·贵州遵义·九年级校联考期末）如图，正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为 ． 4．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明． (3)在矩形中内部有一动点P，满足，求的最小值． 5．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    (1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； (3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【考点三 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】 例题：（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ． 【变式训练】 1．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，P为边上的一动点（含端点），F为的中点，则长度的最大值为 ． 2．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形中，，，点分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为 ．    3．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）矩形中，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则线段的长度最大值是 ． 4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．    5．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点，分别在菱形的边，上滑动，且，不与，，重合．当点在，上滑动时，求面积的最大值．    【考点四 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】 例题：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．