16.3 二次根式的加减（八大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十六章 二次根式》 16.3 二次根式的加减 知识点一 可合并的二次根式 ●●可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式． ★1、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． ★2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即 （a≥0） 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 知识点二 二次根式的加减 ●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变． ★1、二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. ★2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. ★3、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的比较 知识点三 二次根式的混合运算 ●●二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. ★1、二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． ★2、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 题型一 可合并的二次根式的识别 【例题1】（2023秋•松江区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．和3 B．和 C．和 D．和 解题技巧提炼 判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并. 【变式1-1】（2023秋•泉州期末）下列二次根式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•晋江市期末）下列二次根式，与不是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋•岳阳楼区期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-4】（2023秋•浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-5】（2022秋•闵行区期中）下列各组二次根式中，可合并的二次根式的是（　　） A．3与 B．与 C．与 D．与 题型二 根据可合并的二次根式的概念求字母的值 【例题2】（2022春•泰州月考）两个最简二次根式和2是可合并，则a+2b的值为 　 　． 解题技巧提炼 根据可合并的二次根式的概念求待定字母的值时，可根据“被开方数相同”建立方程或方程组，有时还需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式检验是否符合“最简二次根式”的身份. 【变式2-1】（2022秋•益阳期末）如果与的和等于3，那么a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（2023秋•巴中期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 　 　． 【变式2-3】（2022秋•揭阳期中）若两个最简二次根式与2可以合并，则合并后的结果是（　　） A．3 B．5 C．5 D．5 【变式2-4】（2022秋•新城区月考）已知二次根式与化成最简二次根式后．被开方数相同，则符合条件的正整数a有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-5】（2022秋•井研县期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝　 　． 【变式2-6】（2023秋•秀英区校级期中）已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为 　 　． 【变式2-7】（2023秋•洋县期末）已知最简二次根式与可以合并，b是﹣27的立方根， 求a﹣b的平方