2023-2024学年北师大版八年级数学下册第三讲 直角三角形教案

第三讲 直角三角形 ［教学内容］ 《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第三讲“直角三角形”. ［教学目标］ 知识技能 1.掌握勾股定理及其逆定理的内容； 2.学会利用勾股定理惊醒计算、证明与作图，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状； 3.会用勾股定理解决简单的实际问题； 4.体会数形结合的思想. 数学思考 经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观，通过勾股定理讲图形与方程结合起来，体会数形结合的思想和方程的思想. 问题解决 1.在定理的证明中培养学生的拼图能力； 2.通过实际问题的解决，提高学生分析、解决问题的能力. 情感态度 1.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； 2.学生通过适当训练，逐步体验数学说理的重要性； 3.在活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神. [教学重点、难点] 重点：勾股定理及其逆定理的内容的理解与掌握 难点：应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题 [教学准备] 动画多媒体语言课件 第一课时 教学路径 导入： 师：在直角三角形中有一个非常重要的定理，那就是勾股定理.勾股定理也称毕达哥拉斯定理，是一条古老而又应用十分广泛的定理，以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系，长时间以来，人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达300余种.我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言. 那么勾股定理在日常生活中都有哪些应用呢，我们一起来看一看吧. 启动性问题 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 如图，标出电视机的长和宽 小亮：我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机是指电视机屏幕对角线的长度. 动画出示对角线 小萍：因为582+462=5480，742=5476，即屏幕对角线的长大约为74厘米，所以售货员没有搞错. 动画出示对角线的长 师：原来售货员并没有搞错，我们日常生活中所说的电视大小一般指的是电视机的对角线的长度，以后可不要弄错了，闹出笑话哦.接下来我们一起来回顾一下直角三角形的基本知识吧. 回顾： 点击按钮可出现相应知识点 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角___互余____. 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.勾股定理:在一个直角三角形中，两条直角边的___平方和____等于斜边的平方，即a2+b2=c2. 4.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b，c满足___a2+b2=c2____，那么这个三角形是直角三角形. 5.HL定理：一条斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或”HL” ） 师：下面我们就一起来看几道例题. 初步性问题 探究类型之一 直角三角形的判定 例1 如图，在△ABC中，∠A=2∠B，AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形． 解析： 按照从左往右的顺序依次出现，不需要下一步 作∠A的角平分线 交BC于点D（动画作出） 作DE⊥AB于点E（动画作出） AB=2AE DA=DB ∠A=2∠B AE=AC AB=2AC 答案：证明: 如图，作∠A的角平分线交BC于点D, 作DE⊥AB于点E， ∵AD是∠A的角平分线， ∴∠CAB=2∠EAD， 又∠BAC=2∠B， ∴∠B=∠EAD， ∴DA=DB， 又DE⊥AB， ∴AB=2AE， ∵AB=2AC， ∴AE=AC， 在△ADC和△AED中，AD=AD，∠DAC=∠EAD，AE=AC， ∴△ADC≌△AED，∴∠C=∠DEA． ∵∠DEA=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形． 1.教师指定学生读题并说说自己的思路. 生：想办法证明∠C=90°,可以找出AB的中点D，连接CD，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和来思考.教师按照学生的思路往下表示出各角，最后发现此种思路行不通. 师：看来这种思路行不通？那么我们还可以怎么来思考呢？小组内讨论一下吧. 2.小组讨论，讨论结束后教师指定小组汇报，其他小组补充指正.学生讨论过程中，教师注意巡视并参与其中，如果学生没有思路，教师适当引导学生做垂直构造直角，然后证明全等. 生：做AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E,连接AE，证明△ACD≌△ADE. 师：如何来证呢？ 生：…… 3.学生整理，规范解答. 4.教师小结：证明一个三角形是直角三角形的方法： （1）有两个角互余，则另外一角是90°； （2）利用证明三角形全等，证明角相等，如果一个角是