第一章 勾股定理—— 勾股定理的逆定理及勾股定理的应用 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

教材版本： 北师版 学 校： 教 师 年 级 八年级 授课时间 年 月 日 课 时 2课时 课 题 第二讲—勾股定理的逆定理及勾股定理的应用 教材分析 本节的重点是以勾股定理的逆定理运用和勾股定理在实际问题中的应用，师重点讲解例1，并注意让学生探究多种解法，其余例题学生分组生生互动教学. 类似性问题不难，学生独立完成 教学目标 知识技能 1. 掌握勾股定理逆定理，并能判定一个三角形是不是直角三角形. 2. 会用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 过程方法 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，提高同学们推理能力和有条理地表达能力 问题解决 体会数形结合方法和方程思想在解决问题中的作用，并能运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题. 情感态度 1.学生通过适当训练，逐步体验数学说理的重要性. 2.活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神 教学重点、难点 重点：勾股定理逆定理，勾股定理在实际中的应用 难点：应用勾股定理解决简单的实际问题 教学准备 动画多媒体语言课件 第一课时 复备内容及讨论记录 教学过程 导 入 师：上节课，我们学习了勾股定理，研究直角三角形中三边的关系，是什么？ 生：两直角边的平方和等于斜边的平方. 师：什么样的三角形是直角三角形呢？ 生独立思考，然后指定学生说说,其他同学补充. 生：有一个内角是90°的三角形是直角三角形. 生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形是直角三角形. 生：如果一个三角形的三边的关系满足：两边的平方和等于第三边的平方，我们就可以判断这个三角形是直角三角形. 师：下面让我们来看看古代人是怎么画直角三角形. 播放导入 如图所示，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B，已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里，反走私艇B测得离C艇的距离是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 1.师：走私艇C的速度不变，要想知道最早在什么时间进入我国领海就必须，走私艇C走的最短距离，是什么呢？ 生：∵MN⊥CE.∴走私艇进入我领海的最近距离是CE，只要求出CE的长度. 师：如何求CE的长度呢？ 生独立思考，然后同桌之间相互讨论。然后指定学生说说自己的解题思路. 生：由AC=13海里，AB=12海里，BC=5海里，得到△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，设CE=x海里，则AE=（13-x）海里，然后根据△ABE和△BCE是直角三角形，根据勾股定理可以知道 52-（13-x）2 =122-x2. (二)自主探究 教学例1：课件出示例1： 例1 如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,试问AF与EF有何位置关系?请说出你的理由. 1.师引导学生分析： 师：我们先猜想AF与EF的位置关系是？ 生：垂直. 师：接下来就是证明两条直线互相垂直了，如何证明呢？分析已知条件. 2.学生独立思考，然后指定学生自己的解题思路： 生1： F点和E点两个分点的位置是确定的，如果设出正方形的边长，我们就可以表示出边FA，FE，再连接AE，同样可以表示出AE，这样利用勾股定理的逆定理就可以证明了. 3.探究多种解法： 师：很好，我们利用勾股定理的逆定理来证明垂直.还有其他方法吗，能不能利用等腰三角形三线合一来证明呢，那么我们就需要？ 生2：构造等腰三角形，连接AE，延长AD、EF交于一点G，证明△AEG是等腰三角形，且F是EG的中点. 4.师：非常好，我们来总结一下目前为止证明垂直的方法. 生： （1）利用勾股定理的逆定理证明边之间的关系； （2）利用等腰三角形三线合一证明是高线； （3）利用平行线的性质找等量角； 师：非常好，我们以后还会学到很多其他的方法来证明垂直关系，比如相似三角形，锐角三角函数，四边形的性质，圆的性质等等，或从边，或从角，或从边角关系，大家要学会总结归纳联想类比. 答案: 解：△BEF是直角三角形． 证明：设DF=a，则DC=AD=AB=BC=4a,CF=4a-a=3a. 又∵E是AD的中点，∴AE=ED=2a． 在Rt△EDF中，EF2=ED2+DF2=a2+（2a）2=5a2； 在Rt△AEB中，EB2=EA2+AB2=（2a）2+（4a）2=20a2； 在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2=（4a）2+（3a）2=25a2, ∴EF2+E