第一章 勾股定理 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

教材版本： 北师版 学 校： 教 师 年 级 八年级 授课时间 年 月 日 课 时 2课时 课 题 第一讲—勾股定理 教材分析 本节以理解和掌握勾股定理为重点学习内容，其中勾股定理的推理和证明过程在本节中有重要体现. 例2和例5作为学生分组生生互动教学，例3，例4和例6作为重点题目需要师生互动，让学生体会数形结合思想以及利用方程思想解题 教学目标 知识技能 1.掌握勾股定理及其证明方法； 2.学会利用勾股定理进行计算、证明与作图 过程方法 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，提高同学们推理能力和有条理地表达能力 问题解决 能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题 情感态度 1.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； 2.通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育 教学重点、难点 重点：勾股定理及其应用 难点：用拼图的方法证明勾股定理 教学准备 动画多媒体语言课件 第一课时 复备内容及讨论记录 教学过程 导 入 师：同学们，谁能说说勾股定理是什么呢？ 生：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2=c2 师：勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，多达四百多种.我国古代数学家赵爽根据弦图利用面积关系证明勾股定理.在证明勾股定理的方法中，其中一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就直观的证明出勾股定理,被誉为“无字证明”，包括刘徽“青朱出入图”，古印度的古印度的“无字证明”，意大利著名画家达芬奇的画法. 下面我们来看一下伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）和勾股定理之间的一个小故事: 播放导入 师：同学们你知道伽菲尔德总统是怎么证明的吗？ 生独立思考，指定学生说说自己的证明思路: 生：利用面积法来证明，梯形的面积不仅等于（a+b）(a+b)，还等于三个三角形面积的和. 师：说的非常好，两个直角三角形的面积能直接求出来，那么△AED的面积要怎么求呢？ 生：根据Rt△ABE≌Rt△ECD，所以∠AEB=∠EDC.根据∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°,进而得到△AED是直角三角形，求出面积是c2. 学生独立写出证明过程. 课件出示拓展探究： 利用图（2）中的直角梯形，我们可以证明.其证明步骤如下： ∵BC=a+b, AD= . 又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即_____________， ∴. 学生独立完成，然后指定学生说说自己的答案. 师：勾股定理的定理的证明有400多种，但是常用的还是面积割补法来证明. 回顾： 勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法，如图所示. 师总结：两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30°角所对的直角边等于斜边的一半（边角关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. (二)教学探究 教学例1：课件出示例1： 例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm， CD⊥AB交AB于点D． 求：（1）AC的长；（2）△ABC的面积；（3）CD的长． 1.学生独立完成，然后指定学习程度较差的学生讲解，其他同学更正. 2.师总结： （1）勾股定理反映直角三角形三边关系，已知两边，可以求出另外一边. （2）直角三角形中，a,b是两条直角边，c为斜边，h为斜边上的高，利用面积关系很容易求出斜边上的高.当然对于这题，我们知道了CD的长之后，我们还可以根据勾股定理求出BD、AD的长，这个图形作为直角三角形问题的一个基本模型，大家要熟练掌握. 答案: 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm， ∴AC===8（cm）. （2）S△ABC=BC·AC =×6×8=24（cm2）. （3）∵S△ABC=AB·CD，∴CD==4.8（cm）． 教学例2，课件出示例2（一）： （一）小明在玩积木游戏时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正视图如图①， 问题（1）：若此中的△DEF为直角三角形，P的面积为9，Q的面积为15，则M的面积为 ． 1.学生先独立分析题目，然后师与生一起分析. 师：如何求M的面积呢？ 生：因为M的是正方形，它的面积等于边长的平方，也就是DF2. 师：怎么求DF2的值呢？ 生：P的面积为9，Q的面积为15，又因为P，Q为正方形，所以我们就得到DE2=9，EF2=15，△DEF为直角三角形，然后根据勾股定理可以知道DE2 +E