6.3.3 空间角的计算 午练——2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

午练8　空间角的计算 1.若平面α的法向量为μ,直线l的方向向量为v,直线l与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是(　　) A.cos θ= B.cos θ= C.sin θ= D.sin θ= 2.如果PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=2,BC=CC1=4,D是棱AB的中点,则平面ABB1A1与平面B1CD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点,则(　　) A.<>=120° B.BD1⊥AC C.BD1⊥EB1 D.∠BB1E=45° 5.(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,则(　　) A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.AB与平面BCD所成的角为60° D.AB与CD所成的角为90° 6.(2023南通月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=4=4,则异面直线BE与B1F所成角的余弦值为　　　　.  7.二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则平面α与平面β的夹角为　　　　.  8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. 9.如图,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求: (1)直线AD与直线BC所成角的大小; (2)直线AD与平面BCD所成角的大小; (3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. 午练8　空间角的计算 1.D　由题意得sinθ=|cos<μ,v>|=,故选D. 2.C　如图所示,把PA,PB,PC放在正方体中,PA,PB,PC的夹角为60°. 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1, 则P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0). ∴=(-1,0,1),=(0,1,1),=(-1,1,0). 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=1,z=-1,∴n=(1,1,-1), ∴cos<,n>===. 设直线PC与平面PAB所成角为θ, ∴sinθ=|cos<,n>|=, ∴cosθ==. 3.B　如图,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4). 设平面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z), ∵=(2,-4,0),=(0,0,4),则 令x=2,则y=1,z=0, ∴n=(2,1,0). 同理可得,平面B1CD的一个法向量为m=(2,-1,1), 故cos<n,m>===. 设平面ABB1A1与平面B1CD的所成角为θ∈,则cosθ=, 故平面ABB1A1与平面B1CD所成角的正弦值sinθ==. 故选B. 4.ABC　建立如图所示的空间直角坐标系, 设该正方体的棱长为2, 则A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),B1(2,2,2), 所以=(0,2,-2),=(-2,-2,0), 所以cos<,>===-. 因为0°≤<,>≤180°,所以<,>=120°,故选项A正确.因为=(-2,-2,2),=(-2,2,0),所以·=4-4=0⇒⊥⇒BD1⊥AC,故选项B正确. 因为=(-2,-2,2),=(1,1,2),所以·=-2-2+4=0⇒⊥⇒BD1⊥EB1,故选项C正确.因为=(0,0,-2),=(-1,-1,-2),所以cos<,>===,所以∠BB1E=45°不正确,故选项D不正确.故选ABC. 5.AB　如图,取BD的中点O,连接OC,OA. 因为AB=AD,BC=DC, 所以OC⊥BD,OA⊥BD. 因为OC∩OA=O,OC,OA⊂平面OAC, 所以BD⊥平面AOC. 因为AC⊂平面AOC, 所以BD⊥AC,A正确. 不妨设正方形的边长为a,则CD=AD=a, 则AO=CO=a. 因为二面角A-BD-C为直二面角,OC⊥BD,OA⊥BD, 所以∠AOC即为二面角A-BD-C的平面角,且∠AOC=90°. 由勾股定理得AC==a, 故CD=AD=AC,△ACD是等边三角形,B正确. 由A,B选项可知AO⊥OC,AO⊥BD,OC∩BD=O,OC,BD⊂平面BCD, 所以AO⊥平面BCD, 故AB与平面BCD所成的角为∠ABO,且∠ABO=45°, 故AB与平面B