6.1.2 空间向量的数量积午练——2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

午练2　空间向量的数量积 1.已知a,b均为空间单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(　　) A. B. C. D.4 2.(2023合肥检测)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>=(　　) A. B. C.- D. 3.如图,在正四面体P-ABC中,棱长为1,且D为棱AB的中点,则的值为(　　) A.- B.- C.- D. 4.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则在向量上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)设a,b为空间中的任意两个非零向量,下列各式正确的有(　　) A.a2=|a|2 B. C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 6.(多选题)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,体对角线AC1与BD1相交于点О,则(　　) A.=1 B. C. D.=1 7.在正四面体ABCD中,|AB|=2,若=2,则=　　　　.  8.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影向量等于　　　　.  9.(人A教材题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求: (1); (2)AC'的长(精确到0.1). 10.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:CC1⊥BD; (2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明. 午练2　空间向量的数量积 1.C　|a+3b|===.故选C. 2.D　因为a+b+c=0,所以c=-a-b,则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2,即4+2|a|·|b|cos<a,b>+9=16,从而12cos<a,b>=3,解得cos<a,b>=.故选D. 3.D　 如图,因为D为棱AB的中点,所以=(+),·=(+)·=(·+·).由题意,知与的夹角为60°,与的夹角也为60°,||=||=||=1,所以·=·=1×1×cos60°=,故·=×=.故选D. 4.B　四棱锥P-ABCD如图所示, ∵底面ABCD是矩形,∴BA⊥AD.又PD⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,∴PD⊥AD.过向量的始点B作直线AD的垂线,垂足为A,过向量的终点P作直线AD的垂线,垂足为D,在向量上的投影向量为.∵底面ABCD是矩形,∴=.故选B. 5.AD　对于A,a2=a·a=|a|·|a|cos0=|a|2,故A正确;对于B,因为向量不能做除法运算,所以无意义,故B错误;对于C,(a·b)2=(|a|·|b|cos<a,b>)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>,故C错误;对于D,(a-b)2=(a-b)·(a-b)=a2-2a·b+b2,故D正确.故选AD. 6.AC　(方法一)·=·(+)==1,故A正确;·=·(++)==1,故B错误;·=·=,故C正确;·=·(+)=-=-1,故D错误. (方法二)·=·=||||·cos<,>=1××=1,故A正确;由正方体的性质可知,AC1=,·=||||cos<,>=||||·=1××=1,故B错误;·=·=,故C正确;·=·=1××=-1,故D错误.故选AC. 7.6　·=(2+)·=2·+·=2×2×2cos+2×2cos=6.故答案为6. 8.　∵PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,·=(++)·=·+·+·=0+6×6×+62=54,∴向量在上的投影向量为·==.故答案为. 9.解 (1)·=||||cos<,> =5×3×cos60°=7.5. (2)||2=(++)2=||2+||2++2(·+·+·)=52+32+72+2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)=98+56,所以AC'≈13.3. 10.解 (1)证明:设∠C1CB=θ,=a,=b,=c,依题意知|a|=|b|, 于是=-=a-b,∴·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|·cosθ=0,∴CC1⊥BD. (2)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD. 证明如下:若A1C⊥平面C1BD,则必有A1C⊥BD,A1C⊥DC1. 连结AC(图略),易证得BD⊥平面A1AC,则有BD⊥A1C. 令·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|cosθ=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cosθ)=0,得|c|=|a|,故当|c|=|a|时