第6.4.1讲 平面几何中的向量方法-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 第6.4.1讲 平面几何中的向量方法 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．会用向量的方法解决简单的平面几何问题，体会向量的作用． 2．培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 1、用平面向量证明位置关系 2、用平面向量求解平面几何问题（计算求值） 3、向量在几何中的其他应用 向量在平面几何中的应用 1．平面几何中的许多问题：如线段长度(距离)、夹角、平行、垂直、点共线等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来． (1)要证明两线段AB＝CD.可转化为证明：2＝2； (2)要证明两线段AB∥CD，可转化为证明：存在一实数λ≠0，使＝λ成立； (3)要证明两线段AB⊥CD，可转化为证明：·＝0. (4)要证A、B、C三点共线，可转化为证明：存在一实数λ≠0，使＝λ；或若＝a，＝b，＝c，则只要证明存在一个实数t，使c＝ta＋(1－t)b． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 题型1、用平面向量证明位置关系 1．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 3．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4．在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 5．若分别为四边形所在边的中点，且，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 题型2、用平面向量求解平面几何问题（计算求值） 6．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 7．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 9．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型3、向量在几何中的其他应用 11．设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 12．已知为所在平面内一点，且满足，则点（    ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在直线上 D．是的外心 13．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 14．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（    ） A． B．6 C． D．24 15．如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆的动点，则下列叙述不正确的是（    ） A．是定值； B．是定值； C．是定值； D．是定值． 一、单选题 1．在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 2．中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 4．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（    ） A．的内部 B．线段AB上 C．直线BC上 D．的外部 6．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 8．下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为2