2.5.3切线长定理课件2023-2024学年湘教版数学九年级下册

2.5.3 切线长定理 九年级下 湘教版 学习目标 1.了解切线长的定义 2.探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等. 难点 问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点 P 作圆的切线，可以作几条？请欣赏这位同学的作法(如下图所示). 直径所对的圆周角是直角. P O O. P B A A B 新课引入 新知学习 如图, 过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的切线 , 回答问题: （1）可作几条切线？ （2）作切线的依据是什么？ ①连 OP. ②以 OP 为直径作圆，交⊙O于点 A、B. ③作直线 PA，PB. 由 OP 为直径,可得 OA⊥PA, OB⊥ PB,由切线判定定理知: PA、PB 为⊙O 的两条切线. 思考 切线长定义： 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A、B为切点. 线段PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长. 注意：切线是直线，不可度量； 切线长是切线上一点与切点之间的线段的长，可以度量. 归纳 探究 在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？ 把图形沿直线 OP 对折后，线段 PA 与线段 PB 重合,∠APO 与∠BPO 重合. 即 PA＝ PB，∠APO＝∠BPO. 由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 你能试着证明这个猜测吗？ 如图，连结OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. P O A B 接下来我们来验证这个猜想： 由此得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: P O A B 归纳 例1 如图，AD 是 ⊙O 的直径，点 C 为 ⊙O 外一点，CA 和 CB 是 ⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD. 求证：CO∥BD. 分析：连接 AB，因为 AD 为直径，那么∠ABD ＝ 90°.即 BD⊥AB.因此要证 CO∥BD，只要证 CO⊥AB 即可. 证明：连接 AB. ∵CA、CB 是 ⊙O 的切线，点 A、B 是切点， ∴CA＝CB，∠ACO ＝ ∠BCO. ∴CO⊥AB. ∵AD 是 ⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝ 90°， 即BD⊥AB. ∴CO∥BD. 若连结两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 可以得到结论： OP 垂直平分 AB. A P O B M 拓展结论 方法总结 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 切线长问题辅助线的添加方法： 1. 如图, P 为☉O 外一点, PA , PB 分别切☉O 于点 A , B , CD 切☉O 于点 E 且分别交 PA , PB 于点 C , D ．若 PA ＝ 4 , 则△PCD 的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 C 随堂练习 2. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB ＝ 3 cm，则此光盘的直径是________cm. O P A B C E D 解析：连接OA、OB、OC、OD和OE. ∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， ∴PA=PB=7. ∠PAO =∠PBO = 90°. ∠AOB=360°-∠PAO -∠PBO -∠P =140°. (1) △PDE的周长是 ； 3. 如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作☉O 的切线，分别交PA、PB于点 D、E.已知 PA = 7，∠P = 40°.则 (2) ∠DOE= . 4.如图，菱形 ABCD 的边长为 10，圆 O 分别与 AB、AD 相切于 E、F 两点，且与 BG 相切于 G点．若 AO = 5，且圆 O 的半径为 3，则 BG 的长度为何？ 解析：连接 OE， ∵⊙O 与 AB相切于 E，∴∠AEO = 90°， ∵AO = 5，OE = 3， ∵AB = 10，∴BE = 6.