6.4.2 平面向量的应用 讲义-2023-2024学年高一数学下学期《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

6.4.2 平面向量的应用 考法一 证线段垂直 【例1】（2023·河南信阳）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【一隅三反】 1．（2023·山东济南）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 2．（2023北京）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 3．（2024湖南）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 4．（2024河北）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 考法二 夹角问题 【例2-1】（2023广东深圳）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·黑龙江）已知为△的外接圆的圆心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 3．（2023·上海）已知是的外心，且，则 ． 考法三 求线段长度 【例3-1】（2023·海南）在中，角所对的边分别为，. (1)求角的值； (2)若，边上的中点为，求的长度. 【例3-2】．（2023·广东广州）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【一隅三反】 1．（2023·河北沧州）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 2．（2023·山东）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 3．（2023·重庆）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 考法四 求几何的最值 【例4-1】（2023·江西南昌）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ． 【例4-2】（2023·广东湛江）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 【一隅三反】 1．（2023·安徽）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .    2．（2023·广东深圳）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．    3．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 . 考法五 物理上的应用 【例5-1】（2023·云南）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 【例5-2】（2023·广东佛山）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·河南焦作）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 . 2．（2023·全国·高三专题练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .    3．（2023·云南曲靖）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（    ）（参考数据：取重力加速度大小为，） A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.5 4．（2023·北京）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时，. 其中正确结论的