7.2.2 复数的乘、除运算（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

复　数 第七章 7.2　复数的四则运算 7.2.2　复数的乘、除运算 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.掌握复数代数表示式的乘法和除法的运算法则（重 点）.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3. 发展数学抽象和数学运算的核心素养. 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 要点一　复数的乘法 1.运算法则 　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋ bi）·（c＋di）＝ ⁠. （ac－bd）＋（ad＋bc）i　 返回目录 数学　必修 第二册 2.运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ ⁠ 结合律 （z1z2）z3＝ ⁠ 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝ ⁠ 思考：复数的乘法运算与多项式乘法运算类似吗？ 提示　类似，多项式乘法的运算律在复数乘法中也成立，但结果 要将实部、虚部分开（i2换成－1）. z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　复数的除法 1.运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0），则＝ ＝ 　＋i　. 2.复数的除法运算 复数除法运算的实质是分母“实数化”（分子、分母同乘分母的 “实数化因式”，即分母的共轭复数），将复数的除法运算转化 为复数的乘法运算进行求解. ＋i　 返回目录 数学　必修 第二册 3.复数代数运算中的常用结论 （1）（1±i）2＝±2i，＝i，＝－i. （2）（－±i）3＝1. （3）（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）. 返回目录 数学　必修 第二册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.（　　） 解析　（1）正确，加减乘除的混合运算法则都是先乘除，后 加减. 答案　（1）√ （2）两个共轭复数的和与积都是实数.（　　） 解析　（2）正确，若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，所以z ＋＝2a，z＝a2＋b2，2a与a2＋b2都是实数. 答案　（2）√ 返回目录 数学　必修 第二册 （3）若ω＝（i为虚数单位），则ω3＝1.（　　） 解析　（3）错误，ω3＝（）3＝ ＝＝－i. 答案　（3）× （4）若z为纯虚数，则z2≥0.（　　） 解析　（4）错误，i是纯虚数，i2＝－1＜0. 答案　（4）× 返回目录 数学　必修 第二册 关键能力·素养提升 探究一　复数的乘法 解题技巧 复数的乘法运算技巧 （1）复数乘法的运算法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别 合并，两个复数的积仍然是一个复数. 返回目录 数学　必修 第二册 （2）复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及 乘法对加法的分配律. （3）i的幂的周期性：如果n∈N，则有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝ －1，i4n＋3＝－i. 返回目录 数学　必修 第二册 【例题1】 计算下列各式的值. （1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）； 解析　（1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）＝1－i2＋（－1＋i） ＝2＋（－1＋i）＝1＋i. （2）（1＋3i）（4－i）； 解析　（2）（1＋3i）（4－i）＝4－i＋12i－3i2＝7＋11i. （3）（2＋i）（1－i）（3＋4i）. 解析　（3）（2＋i）（1－i）（3＋4i）＝（2－2i＋i－i2）·（3 ＋4i）＝（3－i）·（3＋4i）＝9＋12i－3i－4i2＝13＋9i. 返回目录 数学　必修 第二册 【变式1】设ω＝－＋i，求证：（1）1＋ω＋ω2＝0；证明　 （1）因为ω2＝（－＋i）2 ＝－i－＝－－i， 所以1＋ω＋ω2＝1＋（－＋i）＋（－－i）＝0. 证明 （1）因为ω2＝（－＋i）2 返回目录 数学　必修 第二册 （2）ω3＝1. 证明　（2）ω3＝ω·ω2＝（－＋i）（－－i） ＝（－）2－（i）2＝＋＝1. 返回目录 数学　必修 第二册 【例题2】当z＝－（i为虚数单位）时，z100＋z50＋1＝ （　　） A.1 B.－1