6.2.4 向量的数量积（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

平面向量及其应用 第六章 6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念 及其物理意义，会计算平面向量的数量积（重难点）.2.通过几何 直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量 积判断两个平面向量的垂直关系（重点）.4.发展数学抽象、数学 运算和逻辑推理的核心素养. 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 要点一　向量的数量积 1.向量的夹角 条件 已知两个 向量a，b，O是平面上的任意一点 产生 过程 作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹 角 范围 0≤θ ≤π 特殊 情况 θ＝0 a与b ⁠ θ＝ a与b ，记作a⊥b θ＝π a与b ⁠ 非零　 ∠AOB＝θ　 同向　 垂直　 反向　 返回目录 数学　必修 第二册 2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜ b｜cos θ 叫做向量a与b的 （或 ⁠），记作 a·b，即 .规定：零向量与任一向量的数 量积为 ⁠. 3.向量的数量积的物理背景 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做 的 W就等于力F与位移s的数量积，即 ⁠ ，其中θ是F与s的夹角. 数量积　 内积　 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ　 0　 功　 W＝F·s＝｜F｜ ｜s｜cos θ　 返回目录 数学　必修 第二册 思考：（1）向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什 么区别？ 提示　（1）向量的数量积的运算结果是数量，只有大小，没有 方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有方向. （2）可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 提示　（2）不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写 时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式. 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　投影与投影向量 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点 A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得 到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量 a在向量b上的投影向量. 返回目录 数学　必修 第二册 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作 直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的 投影向量. 返回目录 数学　必修 第二册 3.（1）设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向 量a在向量b上的投影向量与e，a，θ之间的关系为：对于任 意的θ∈[0，π]，都有＝ ⁠. （2）｜a｜cos θ（｜b｜cos θ）为向量a在b上（b在a上）的投影 的数量. ｜a｜cos θ e　 返回目录 数学　必修 第二册 要点三　向量数量积的性质和运算律 1.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向 量，则 （1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ. （2）a⊥b ⇔ ⁠. （3）当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时， a·b＝ .特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝＝ . （4）cos θ＝ ⁠. （5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. a·b＝0　 ｜a｜｜b｜　 －｜a｜｜b｜　 　 返回目录 数学