2023-2024学年人教版九年级上册数学综合讲义——第五讲:二次函数,与二次函数系数认识

第五讲：二次函数，与二次函数系数认识 考点1、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 前提：化简后 判定：①一个未知数，②最高次数为2且系数不为0，③整式。三者缺一不可。 例1．（2023上·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、整理后没有二次项，不符合二次函数的一般形式，错误； B、不符合二次函数的一般形式，错误； C、是二次函数，正确； D、是一次函数，错误；故选：C． 变式训练： 1．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 考点2、根据二次函数定义求参数。最高次数为2且系数不为0 例1．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知函数y=是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．± 【详解】∵函数y=（m﹣3）是二次函数，∴，解得：m=﹣3． 1．（2023上·甘肃定西·九年级校考阶段练习）已知二次函数，则 ． 2．（2022上·福建莆田·九年级校联考期中）已知函数是二次函数，则 ． 3．（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）若是二次函数，则 ． 考点3、二次函数平移：“左加右减，上加下减” 例1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为， 故选：D． 变式训练： 1．（2023上·河南开封·九年级校考阶段练习）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式是（  ） A． B． C． D． 3．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（　　） A． B． C． D． 考点四、用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 例1．（2022上·广东广州·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标； (2)沿水平方向平移该二次函数的图象，使其平移后的抛物线的顶点到y轴的距离为4，请直接写出平移的方向和距离． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点， ，解得， 二次函数的解析式为， 将其化为顶点式有， 二次函数的顶点坐标为． （2）解：平移后的抛物线的顶点到y轴的距离为4， 二次函数的顶点坐标可以为或， 当二次函数的顶点坐标由平移到，则二次函数图象向右平移了5个单位， 当二次函数的顶点坐标由平移到，则二次函数图象向左平移了3个单位． 变式训练： 1．（2023上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，已知顶点为的抛物线过点，交x轴于A，B两点，交y轴于点C、点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线上方时，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 2．（2024上·浙江湖州·九年级统考期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)请求出抛物线的解析式； (2)结合函数图象，当时，请求出的取值范围． 考点5、二次函数图像作图 例1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期中）已知抛物线． （1）求这条抛物线与x轴交点的坐标． （2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线的草图． 根据图象回答： （3）当时，x取值范围是________． （4）当x取值满足________时，y随x的增大而减小． 变式训练： 1．（2022上·湖北荆州·九年级校考期中）已知抛物线． (1)图象的开口方向为________，对称轴是________，顶点坐标是________． (